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Dans chaque cas, justifier que la fonction $F$ proposée est une primitive de $f$ sur $I$.
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- $f(x)=6x^2+\dfrac{2}{x}$ sur $I=]0;+\infty[$ et $F(x)=2x^3+2ln(x)$.
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$Il faut calculer $F'(x)$$ln$ est dérivable sur $I$ donc $F$ est dérivable sur $I$.
$F'(x)=2\times 3x^2+2\times \dfrac{1}{x}=6x^2+\dfrac{2}{x}$
- $f(x)=12e^{4x}+3$ sur $I=\mathbb{R}$ et $F(x)=3e^{4x}+3x$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$Il faut calculer $F'(x)$La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$F'(x)=3\times 4\times e^{4x}+3\times 1=12e^{4x}+3=f(x)$
- $f(x)=e^{-x}(1-x)$ sur $I=\mathbb{R}$ et $F(x)=xe^{-x}$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$ dérivables sur $\mathbb{R}$
donc $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$
$F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
$\phantom{F(x)}=1e^{-x}+x\times (-e^{-x})=e^{-x}(1-x)=f(x)$
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