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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+5x-4$ et dont la représentation graphique $(C_f)$ est donnée ci-dessous.
  1. Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 0$

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Il faut déterminer les racines du polynôme
    $f(1)=-x+5-4=0$ donc $x_1=1$ est une racine du polynôme $-x^2+5x-4$
    Le produit des racines $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ avec $a=-1$ et $c=-4$
    donc $x_2=\dfrac{-4}{-1}=4$

    donc $f(x)\geq 0$ pour $x\in [1;4]$
  2. Déterminer un encadrement de $\int_1^4 f(t)dt$ le plus précis possible avec le graphique donné.

    Aire et intégrale


    $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
    $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
    On a bien $f(x)\geq 0$ sur $[1;4]$
    $\int_1^4 f(t)dt$ est l'aire, en unités d'aires du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$
    $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme) donc sur $[1;4]$ et $f(x)\geq 0$ sur $[1;4]$
    donc $\int_1^4 f(t)dt$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$.
    Comme $C_f$ coupe l'axe des abscisses en $x=1$ et $x=4$ alors donc $\int_1^4 f(t)dt$ est l'aire du domaine (en bleu) limité par la courbe et l'axe des abscisses.

    Une unité d'aire(en orange) est l'aire de deux carreaux du quadrillage.
    Si on note $A=\int_1^4 f(t)dt$ alors $A$ contient 8 carreaux entiers (zone hachurée en rouge) du quadrillage et est contenue dans 14 carreaux entiers du quadrillage.

    soit entre 4 et 7 unités d'aire puisque une unité d'aire correspond à l'aire de deux carreaux du quadrillage.
  3. Calculer alors la valeur exacte de cette intégrale.

    Primitives des fonctions usuelles


    Intégrale


    La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
    $\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$
    Il faut déterminer une primitive $F$ de $f$ puis calculer $F(4)-F(1)$
    $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $\mathbb{R}$.
    $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+5\dfrac{x^2}{2}-4x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    On a bien $F'(x)=-\dfrac{3x^2}{3}+5\dfrac{2x}{2}-4=-x^2+5x-4=f(x)$
    $F(4)= -\dfrac{4^3}{3}+5\dfrac{4^2}{2}-4\times 4=-\dfrac{64}{3}+40-16=\dfrac{8}{3}$
    $F(1)= -\dfrac{1^3}{3}+5\dfrac{1^2}{2}-4\times 1=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{2}-4=\dfrac{8}{3}=\dfrac{-11}{6}$
    $\int_1^4 f(t)dt=[F(t)]_1^4=F(4)-F(1)=\dfrac{8}{3}-\dfrac{-11}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$


    Penser à contrôler le calcul de l'intégrale avec la calculatrice: OPTION puis CALC puis $\int$($-x^2+5x-4$,1,4).
    On a bien $4< \dfrac{9}{2}< 7$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Aires et intégrales

- approximation d'une intégrale avec le graphique
- calcul d'une aire et rédaction type avec une fonction positive


infos: | 15mn |

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