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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(x)+x^2+1$
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
  1. $H$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $H(x)=xln(x)-x$.
    Calculer la dérivée $H'$ de $H$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    On peut poser $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $H(x)=u(x)v(x)-x$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $H(x)=u(x)v(x)-x$.
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $H$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$.
    $H'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
    $\phantom{H'(x)}=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1$
    $\phantom{H'(x)}=ln(x)+1-1$
    $\phantom{H'(x)}=ln(x)$
  2. En déduire une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.

    Primitive d'une fonction


    $F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
    Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
    Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$
    On a $f(x)=H'(x)+x^2+1$
    $f$ est continue(somme de fonctions continues) sur $]0;+\infty[$ donc admet des primitives sur $]0;:+\infty[$.
    $f(x)=H'(x)+x^2+1$ donc $F(x)=H(x)+\dfrac{x^3}{3}+x=xln(x)-x+\dfrac{x^3}{3}+x=xln(x)+\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    En effet $F'(x)=ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{3x^2}{3}=ln(x)+x^2+1=f(x)$
  3. En déduire l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ et en donner la valeur arrondie aux dixièmes.

    Aire et intégrale


    $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
    $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
    Il faut justifier d'abord que $f(x)\geq 0$ sur $[1;e]$
    Rappel: $ln(x)>0$ sur $]1;+\infty[$
    $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ donc sur $[1;e]$.
    $ln(x)\geq 0$ pour tout réel $x\geq 1$ et $x^2+1>0$ pour tout réel $x$
    donc $f(x)>0$ sur $[1;e]$.
    On a donc $f$ continue et $f(x)>0$ sur $[1;e]$ donc l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aires, du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ est $\int_1^e f(t)dt$.
    $F(1)=1ln(1)+\dfrac{1^3}{3}=\dfrac{1}{3}$
    $F(e)=eln(e)+\dfrac{e^3}{3}=e+\dfrac{e^3}{3}$
    $\mathcal{A}=\int_1^e f(t)dt$
    $\phantom{\mathcal{A}}=[F(t)]_1^e$
    $\phantom{\mathcal{A}}=F(e)-F(1)$
    $\phantom{\mathcal{A}}=e+\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{1}{3}$
    $\phantom{\mathcal{A}}\approx 9,1$


    Penser à contrôler le calcul de l'intégrale avec la calculatrice: OPTION puis CALC puis $\int (ln(x)+x^2+1$,1,e) (voir fiche méthode calculer une intégrale avec la calculatrice)

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