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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xe^{2x}-0,2x+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.

On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
  1. Que représente $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ sur le graphique?
    $f$ est continue sur $[0;1]$ ($xe^{2x}$ est produit de deux fonctions continues sur $[0;1]$).
    $x\geq 0$, $e^{2x}> 0$ et $0,2x+1>0$
    donc on a $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
    $f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;1]$ donc $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine (en rouge ci-dessous) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
  2. On utilise deux trapèzes de largeur 0,5 pour approximer l'aire correspondant à $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

    En utilisant ces deux trapèzes, donner une approximation de l'aire cherchée.
    On rappelle que l'aire d'une trapèze est donnée par:
    Il faut calculer $f(0)$, $f(0,5)$ et $f(1)$.
    $f(0)=0e^{0}-0,2\times 0+1=1$
    $f(0,5)=0,5e^{2\times 0,5}-0,2\times 0,5+1=0,5e+0,9$
    $f(1)=1e^{2\times 1}-0,2\times 1+1=e^2+0,8$
    Si on note $A_1$ l'aire du trapèze de largeur 0,5 avec $b=f(0)$ et $B=f(0,5)$(trapèze de gauche) et $A_2$ l'aire du trapèze de largeur 0,5 avec $b=f(0,5)$ et $B=f(1)$ (trapèze de droite) on a:
    $A_1=\dfrac{0,5\times (f(0)+f(0,5))}{2}=0,25\times (1+0,5e+0,9)=0,475+0,125e$ unités d'aires
    $A_2=\dfrac{0,5\times (f(0,5)+f(1))}{2}=0,25\times (0,5e+0,9+e^2+0,8)=0,425+0,125e+0,25e^2$ unités d'aires
    $A_1+A_2=0,475+0,125e+0,425+0,125e+0,25e^2=0,9+0,25e+0,25e^2$
  3. On veut maintenant partager l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles d'amplitude $\dfrac{1}{n}$(voir graphique ci-dessous) et calculer la somme des aires des rectangles obtenus comme dans le cas précédent.

    On note $x_k$ les abscisses $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entier naturel compris entre 0 et $n-1$.
    Exprimer la valeur de $x_k$ (voir graphique) en fonction de $k$.
    Quelles sont les valeurs prises par $k$?

    a différence entre deux abscisses consécutives est de $\dfrac{1}{n}$
    On a $x_0=0$, $x_1=\dfrac{1}{n}$, $x_2=x_1+\dfrac{1}{n}=\dfrac{2}{n}$...

    La dernière abscisse est $x_n=\dfrac{n}{n}=1$
  4. Montrer que l'aire de chaque trapèze en fonction de $n$ et $k$ est $A_k=\dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2n}$
    Il faut calculer la longueur de $b$ et $B$ pour chaque trapèze en fonction de l'abscisse $\dfrac{k}{n}$
    Chaque trapèze a pour largeur $\dfrac{1}{n}$.
    On a $b=f\left(x_k\right)=f\left(\dfrac{k}{n}\right)$
    et $B=f\left(x_{k+1}\right)=f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$
    donc $A_k=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2}=\dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2n}$
  5. Compléter l'algorithme ci-dessous permettant de calculer la somme des aires des trapèzes obtenus en divisant l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude.
    $A$ représente la somme des aires des trapèzes.
    $n$ représente le nombre de rectangles permettant d'approximer l'aire cherchée.
    $\dfrac{k+1}{n}$ prend la valeur maximale 1 donc on doit avoir $k=0$ à $k=n-1$.
    Pour $k=n-1$ on a bien $\dfrac{k+1}{n}=\dfrac{n-1+1}{n}=1$
    A chaque passage dans la boucle, on ajoute l'aire du trapèze à l'aire $A$ qui est la somme des aires des trapèzes précédents.
    On a alors l'algorithme suivant:
  6. Ecrire l'algorithme en Python et donner une valeur approchée de l'intégrale pour $n=50$ et contrôler avec la calculatrice.

    input: saisir une variable


    x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
    Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
    Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))

    Boucle TANT QUE


    while test-à-faire :   instructions de la boucle tant que
    Avec une CASIO Option puis CALC puis $\int$
    Dans l'algorithme ci-dessous on calcule d'abord les deux abscisses pour chaque trapèze ($x$ et $x1$) puis les deux ordonnées $y$ et $z$.

    Avec Casio:
    OPTION puis CALC puis $\int$ avec la syntaxe $\int($expression de $f$,0,1).
    Avec TI: MATHS puis fnInt (numéro 9) avec la syntaxe fnInt(expression de $f$,$X$,0,1)

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Aires et intégrales

- approximation d'une intégrale avec le graphique
- calcul d'une aire et rédaction type avec une fonction positive


infos: | 15mn |

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