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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-2x+2$ et on note $C_f$ sa courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 2cm.
  1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Calculer $f'(x)$ puis $f'(1)$ et $f(1)$
    $f'(x)=e^x-2$
    $f(1)=e^1-2+2=e$ et $f'(1)=e^1-2=e-2$
    T: $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    $\phantom{T:y}=(e-2)(x-1)+e$
    $\phantom{T:y}=(e-2)x-e+2+e$
    $\phantom{T:y}=(e-2)x+2$
  2. Montrer que $f$ est convexe.

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    Il faut calculer puis étuider le signe de $f''(x)$
    $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $f'(x)=e^x-2$
    $f'$ est également dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $f''(x)=e^x$
    Pour tout réel $x$, $e^x>0$ donc $f''(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
  3. On admet que $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
    On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine limité par $C_f$, la tangente T et les droites d'équations $x=0$ (axe des ordonnées) et $x=1$.
    Après avoir colorié la zone correspondante sur le graphique ci-dessous, calculer $\mathcal{A}$
    On donnera la valeur exacte en unités d'aire et la valeur arrondie aux centièmes en cm$^2$·

    Aire et intégrale


    $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
    $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
    Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
    Calculer l'aire $\mathcal{A}_2$ (trapèze) du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ et on peut calculer $\mathcal{A}_2$ en utilisant la fonction affine $g$ don la rprésentation graphique est T
    $=\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}$
    Utiliser la convexité de $f$ pour calculer $\mathcal{A}$ en utilisant la position relative de $f$ et T.
    La fonction est convexe donc la courbe est au-dessus de ses tangentes.

    On note $\mathcal{A}_1$ l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
    Sur $[0;1]$, $f$ est continue et $f(x)>0$ donc $\mathcal{A}_1=\int_0^1 f(x)dx$
    $F(x)=e^x-x^2+2x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    On a bien $F'(x)=e^x-2x+2=f(x)$
    $F(1)=e^1-1^2+2=e+1$ et $F(0)=e^0-0^2+0=1$ (rappel $e^0=1$)
    donc $\mathcal{A}_1=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=e+1-1=e$ u.a.

    On note $\mathcal{A}_2$ l'aire du domaine limité par T, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
    $\mathcal{A}_2$ est l'aire d'un trapèze de petite base $b=OA=(e-2)\times 0+2=2$, de grande base $BB'=(e-2)\times 1+2=e-2+2=e$ et de hauteur $h=AB=1$
    $\mathcal{A}_2=\dfrac{(2+e)\times 1}{2}=\dfrac{e+2}{2}$ u.a.

    Si on note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(e-2)x+2$ donc la représentation graphique est T, on peut aussi calculer $\int_0^1 g(x)dx$ pour déterminer $\mathcal{A}_2$ avec $G(x)=\dfrac{(e-2)x^2}{2}+2x$.
    $f$ est convexe donc $C_f$ est au-dessus de T donc
    $\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A_2}$

    $\phantom{\mathcal{A}}=e-(\dfrac{e+2}{2})$

    $\phantom{\mathcal{A}}=\dfrac{2e-e-2}{2}$

    $\phantom{\mathcal{A}}=\dfrac{e-2}{2}$

    Le repère est orthonormé d'unité 2cm donc une unité d'aire est l'aire d'un carré de 2cm de côté.
    1 u.a$=2\times 2=4$ cm$^2$
    donc $\mathcal{A}=\dfrac{e-2}{2}\times 4=2(e-2)$ cm$^2$

    Autre méthode:
    $\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A_2}$
    $=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx-\displaystyle \int_0^1 (e-2)x+2dx$
    $=\displaystyle \int_0^1 f(x)-(e-2)x-2dx$
    $=\displaystyle \int_0^1 e^x-2x+2-(e-2)x-2dx$
    $=\displaystyle \int_0^1 e^x-ex dx$
    $=\left[ e^x-e\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1$
    $= e^1-\dfrac{e}{2}-e^0+0$
    $= \dfrac{e}{2}-1$

    Penser à contrôler le calcul de l'intégrale avec la calculatrice

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