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Une association compte 18 membres.
Pour la représenter lors d'un forum des associations, on doit choisir 5 personnes de cette association.
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- Combien y a-t-il de groupes différents possibles ?
Produit factorielle
Soit $n$ un entier naturel non nul,
$n!=n(n-1)(n-2)....\times 3\times 2\times 1$
Par exemple $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$Combinaisons
$E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de $E$.
Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel noté $\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$On cherche le nombre combinaisons de 5 personnes parmi les 18.On cherche donc le nombre combinaisons de 5 personnes parmi les 18
soit $\begin{pmatrix} 18\\5 \end{pmatrix}=\dfrac{18!}{5!(18-5)!}=\dfrac{18!}{13!5!}=\dfrac{18\times 17\times 16\times 15\times 14}{ 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=8658$
- Pierre fait partie de cette association, dans combien de ces groupes peut figurer Pierre ?
On a donc Pierre dans ce groupe de 5 personnes et il reste 4 personnes à sélectionnerPierre fait partie du groupe donc il reste 4 personnes à sélectionner parmi 17
soit $\begin{pmatrix} 17\\4 \end{pmatrix}=\dfrac{17!}{4!(17-4)!}=\dfrac{17!}{13!4!}=\dfrac{17\times 16\times 15\times 14}{4\times 3\times 2\times 1}=2380$
- Paul fait aussi partie de cette association mais il ne veut pas être associé à Pierre, combien de groupes sont alors possibles ne contenant que Pierre ou bien que Paul?
Si Paul est dans le groupe, il faut sélectionner 4 personnes parmi les 16 restantes puisque Pierre ne doit pas figurer dans le groupe
Si Pierre est dans le groupe, il faut sélectionner 4 personnes parmi les 16 restantes puisque Paul ne doit pas figurer dans le groupeSi Paul est dans le groupe, il faut sélectionner 4 personnes parmi les 16 restantes puisque Pierre ne doit pas figurer dans le groupe
soit soit $\begin{pmatrix} 16\\4 \end{pmatrix}=\dfrac{16!}{4!(16-4)!}=\dfrac{16!}{12!4!}=\dfrac{ 16\times 15\times 14\times 13}{4\times 3\times 2\times 1}=1820$
Si Pierre est dans le groupe, il faut sélectionner 4 personnes parmi les 16 restantes puisque Paul ne doit pas figurer dans le groupe
soit soit $\begin{pmatrix} 16\\4 \end{pmatrix}=1820$
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