L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths
RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
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- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.
Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire.
À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0,8$.
Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants.
Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible.
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès.
l
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix}
n\\
k\\
\end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$
Justifier que la variable aléatoire comptant le nombre de flèches ayant atteint la cible parmi les quatre suit une loi binomiale et préciser ses paramètres
On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer une flèche avec les deux issues (épreuve de Bernouilli) possibles $S$:" la flèche atteint la cible" et $E=\overline{S}$: " la flèche n'atteint pas la cible".
On a alors $p(S)=0,8$ et $p(E)=1-p(S)=0,2$.
Chaque épreuve (chaque tir) est indépendante des autres (les tirs sont indépendants) et on répète 4 fois cette épreuve de Bernouilli.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de flèches ayant atteint la cible (nombre de succès $S$) et
Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ?
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors:
$E(X)=np$
On répète cette fois $n$ fois de manière indépendante l'épreuve de Bernoulli de la question 1.
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de flèches ayant atteint la cible (nombre de succès $S$) parmi les $n$ tirs successifs suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$ notée $\mathcal{B}(n;0,8)$.
L'espérance de $X$ est donc $E(X)=np$ et on veut $E(X)=12$
$E(X)=12 \Longleftrightarrow n\times 0,8=12 \Longleftrightarrow n=15$
Il faudra effectuer 15 tirs successifs pour atteindre la cible 12 fois en moyenne.
Exercice suivant nº1323
loi de probabilité, espérance et variance
niveau
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8-10 mn