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Un grand magasin vend des tables et des lots de quatre chaises.
On note T l'événement "le client a acheté une table" et C l'événement " le client a acheté un lot de chaises"
et on a $p(T\cap \overline{C})=0,3$, $p(C\cap \overline{T})=0,1$ et $p(C\cap T)=0,4$.
Le prix de vente d'une table est de 250 euros et le lot de quatre chaises est vendu 180 euros.
  1. On note $X$ la dépense d'un client lorsqu'il vient dans le magasin.
    Quelles sont les valeurs possibles pour $X$?
    Identifier les quatre situations possibles et la dépense correspondante
    Si le client achète une table mais pas de chaises (événement $T\cap \overline{C}$), il dépense 250 euros.
    Si le client achète un lot de chaises mais pas de table (événement $C\cap \overline{T}$), il dépense 180 euros.
    Si le client achète une table et un lot de chaises (événement $T\cap C$), il dépense $250+180=430$ euros.
    Si le client n'achète ni la table, ni le lot de chaises (événement $\overline{T}\cap \overline{C}$), il dépense 0 euro.
  2. Calculer l'espérance de $X$ et en donner la signification.

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    faire d'abord le tableau de la loi de probabilité de $X$
    On a donc:

    $E(X)=430\times 0,4+250\times 0,3+180\times 0,1+0\times 0,2=265$

    Cela signifie que pour un grand nombre de clients, chaque client va dépenser en moyenne 255 euros.
  3. Le directeur du magasin décide de modifier le prix du lot de chaises.
    On note $p$ ce nouveau prix.
    Exprimer alors l'espérance de $X$ en fonction de $p$.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    Si on a un lot de chaises pour $p$ euros, on a donc $p+250$ euros pour la table et le lot de chaises.
    Refaire une tableau de la loi de probabilité de $X$ puis calculer l'espérance en fonction de $p$
    On a donc:

    $E(X)=(p+250)\times 0,4+250\times 0,3+p\times 0,1+0\times 0,2=0,4p+100+75+0,1p=0,5p+175$

    Cela signifie que pour un grand nombre de clients, chaque client va dépenser en moyenne $0,5p+175$ euros.
  4. Le directeur du magasin souhaite que la dépense moyenne par client augmente de 10.
    Quel prix $p$ devra-t-il fixer pour un lot de chaises?
    Déterminer quelle doit être la dépense moyenne $M$ par client
    Résoudre l'équation $E(X)=M$
    La dépense moyenne par client est au départ de 265 euros.
    Augmenter la dépense de 10 revient à la multiplier par $1+\dfrac{10}{100}=1,1$
    donc on veut $E(X)=265\times 1,1=291,5$
    $E(X)=291,5 \Longleftrightarrow 0,5p+175=291,5$
    $\phantom{E(X)}\Longleftrightarrow 0,5p=291,5-175$
    $\phantom{E(X)}\Longleftrightarrow 0,5p=291,5-175$
    $\phantom{E(X)}\Longleftrightarrow p=\dfrac{116,5}{0,5}$
    $\phantom{E(X)}\Longleftrightarrow p=233$

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