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$ABCDS$ est une pyramide à base carrée de sommet $S$ et $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $CD]$ et $[DA]$.
$M$ est le point défini par la relation $\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SD}+3\overrightarrow{CJ}$.
  1. Faire ne figure et construire $M$.

    produit d'un vecteur par un réel


    Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
    Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
    1. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
    2. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
    3. $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$

    Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$
    Construction de $M$
  2. Montrer que $J$, $M$ et $I$ sont alignés.

    Alignement et colinéarité


    Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
    On a $\overrightarrow{CJ}=)\overrightarrow{DI}$
    On peut montrer que $\overrightarrow{JM}=2\overrightarrow{IJ}$
    $\overrightarrow{JM}=\overrightarrow{JS}+\overrightarrow{SM}$
    $~~~~~~~~=\overrightarrow{JS}+\overrightarrow{SD}+3\overrightarrow{CJ}$
    $~~~~~~~~=\overrightarrow{JD}+3\overrightarrow{CJ}$
    $~~~~~~~~=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{CJ}+2\overrightarrow{CJ}$
    $~~~~~~~~=\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CJ}$
    $~~~~~~~~=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}$
    $~~~~~~~~=\overrightarrow{CA}$
    $\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{BJ}$
    $\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$
    $\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
    donc $2\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JM}$
    donc $\overrightarrow{JI}$et $\overrightarrow{JM}$ sont colinéaires


    On a $\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{JM}$
    donc $I$ est le milieu de $[JM]$.

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