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$ABCDEFGH$ est un cube.
Les points $I$ et $J$ sont définis par $\overrightarrow{EI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GC}$.
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Les points $I$ et $J$ sont définis par $\overrightarrow{EI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GC}$.
- Construire les points $I$ et $J$.
produit d'un vecteur par un réel
Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
1. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
2. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
3. $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$
Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ - Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{EB}$.
Que peut-on en conclure?vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.
On peut décomposer le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ en $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CJ}$$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CJ}$
$\phantom{\overrightarrow{IJ}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CG}$
$\phantom{\overrightarrow{IJ}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CG}$
$\phantom{\overrightarrow{IJ}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{EC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AE}$ (on a $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$)
$\phantom{\overrightarrow{IJ}}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE})+\overrightarrow{EC}$
$\phantom{\overrightarrow{IJ}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}$
$\phantom{\overrightarrow{IJ}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}$
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