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$ABCDEFGH$ est un cube.

  1. Montrer que la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BD)$.

    droite et plan orthogonaux


    Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
    On peut utiliser le carré $ABCD$
    $ABCD$ est un carré donc les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires
  2. Calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BF}$

    Orthogonalité et produit scalaire


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
    On a $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
    $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BF}$
    $=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).\overrightarrow{BF}$
    $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BF}$
    $=0+0$ car $(AB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires et $(BC)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires
  3. En déduire que la droite $(AC)$ est orthogonale aun plan $(HDB)$.

    droite et plan orthogonaux


    Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
    Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont orthogonales
    et $(AC)$ et $(BF)$ sont orthogonales
    donc $(AC)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(HDB)$


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