Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
$ABCDE$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est rectangulaire.
$I$ est un point du segment $[BE]$ et $J$ est un point de $[CE]$ tels que $(IJ)//(BC)$.
  1. Montrer que $(IJ)$ est parallèle à $(AD)$.

    Position relative de deux droites


    - Les droites $D$ et $\Delta$
    Les droites $D$ et $\Delta$ ne sont pas coplanaires
    Aucun plan ne contient les deux droites


    Les droites $D$ et $\Delta$
    Les droites $D$ et $\Delta$ ne sont pas coplanaires                         Les deux droites sont sécantes ou parallèles
    $(IJ)$ est l'intersection des plans $(ABI)$ et $(BCI)$.
    $ABCD$ est un rectangle donc $(AD)//(BC)$
    Les plans $(ABI)$ et $(BCI)$ (ou $(BCE)$) sont sécants en $I$.
    En utilisant le théorème du toit, on peut donc conclure que l'intersection des plans $(ABI)$ et $(BCI)$ est une droite $\Delta_1$ parallèle à $(AD)$ et $(BC)$ passant par $I$
    donc $\Delta_1$ est confondue avec $(IJ)$ puisque $(IJ)//(BC)$


  2. Montrer que $(AI)$ et $(DJ)$ sont sécantes en un point $M$ et construire $M$.
    Les plans $(ABE)$ et $(DCF)$ sont parallèles.
    D'après la question précédente, on sait que $(IJ)$ est l'intersection des plans $(ADI)$ et $(BCE)$ (ou $(BCI)$)
    donc les droites $(AI)$ et $(DJ)$ sont coplanaires (contenues dans le plan $(ADI)$)
    On a $AD\neq IJ$ donc les droites $(AI)$ et $(DJ)$ sont coplanaires et non parallèles

  3. Déterminer l'intersection $\Delta$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.

    théorème du toit


    Lorsque deux plans $P$ et $P'$ sont sécants et contiennent respectivement les droites $d$ et $d'$, l'intersection de $P$ et de $P'$ est une droite $\Delta$ parallèle à $d$ et à $d'$.
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    $ABCD$ est un rectangle donc $(AB)//(CD)$
    Les plans $(ABE)$ et $(CDE)$ contiennent respectivement les droites $(AB)$ et $(CD)$
    En utilisant le théorème du toit, on peut donc conclure que l'intersection $\Delta$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$ est une droite $\Delta$ parallèle à $(AB)$ et $(CD)$.
    Il faut déterminer un point de $\Delta$ c'est à dire un point commun aux plans $(ABE)$ et $(CDE)$.
    $E$ appartient à ces deux plans donc est un point d'intersection de $(ABE)$ et $(DCE)$
    donc $\Delta$ est la parallèle à $(AB)$ (ou $(CD)$) passant par $E$.
  4. Montrer que $M$ appartient à $\Delta$.
    Il faut montrer que $M$ est un point commun aux plans $(ABE) et $(CDE)$.
    Les points $A$ et $I$ sont deux points du plan $(ABE)$ car $I\in [BE]$
    donc $(AI)$ est contenue dans le plan $(ABE)$.
    $M \in (AI)$ donc $M\in (ABE)$.
    De même, les points $D$ et $J$ sont deux points du plan $(CDE)$ car $J\in [CE]$
    donc $(DJ)$ est contenue dans le plan $(CDE)$.
    $M \in (DJ)$ donc $M\in (CDE)$.
    donc $M$ appartient aux plans $(ABE)$ et $(CDE)$ donc c'est un point d'intersection des deux plans

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Intersections de plans et droites

- méthode de construction de l'intersection de deux plans


infos: | 15-20mn |

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.