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Dans un repère orthonormé de l'espace, le plan $P$ a pour équation $3x-2y+4z-5=0$.
  1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan $P$ avec chacun des axes du repère.
    Si le points $A$ appartient à l'axe des abscisses alors $A(x;0;0)$...
    Soit $A$ le point d'intersection du plan $P$ et de l'axe des abscisses alors $A(x_A;0;0)$.
    $A\in P \Longleftrightarrow 3x_A-2y_A+4z_A-5=0\Longleftrightarrow 3x_A-5=0\Longleftrightarrow x_A=\dfrac{5}{3}$
    Soit $B$ le point d'intersection du plan $P$ et de l'axe des ordonnées alors $B(0;y_B;0)$.
    $B\in P \Longleftrightarrow 3x_B-2y_B+4z_B-5=0\Longleftrightarrow -2y_B-5=0\Longleftrightarrow y y_B=\dfrac{-5}{2}$
    Soit $C$ le point d'intersection du plan $P$ et de l'axe des cotes alors $C(0;0;z_C)$.
    $C\in P \Longleftrightarrow 3x_C-2y_C+4z_C-5=0\Longleftrightarrow 4z_C-5=0\Longleftrightarrow z_C=\dfrac{5}{4}$
  2. Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$.

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
  3. La droite $d$ est définie par sa représentation paramétrique $\begin{cases} x=2-5t\\ y=3-2t\\ z=1+3t \end{cases} $ avec $t\in \mathbb{R}$.
    La droite $d$ est-elle parallèle au plan $P$?

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace


    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
    La droite $d$ est parallèle au plan $P$ si elle est orthogonale au vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de $P$
    $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -5\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}$ (coefficients de $t$) est un vecteur directeur de $d$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=3\times (-5)-2\times (-2)+4\times 3=-15+4+12=1\neq 0$
    donc $\overrightarrow{u}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$
  4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $C$ de $d$ et de $P$.
    Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $P$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $d$.
    $C$ appartient à $d$ donc on a $\begin{cases} x=2-5t\\ y=3-2t\\ z=1+3t \end{cases}$ et $C$ appartient à $P$ donc $3x-2y+4z-5=0$
    On remplace $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $P$ et on a:
    $3(2-5t)-2(3-2t)+4( 1+3t )-5=0\Longleftrightarrow 6-15t-6+4t+4+12t-5=0$
    $\phantom{3(2-5t)-2(3-2t)+4( 1+3t )-5=0}\Longleftrightarrow t=1$
    On remplace ensuite $t=1$ dans la représentation paramétrique de $d$:
    $\begin{cases} x=2-5\times 1=2-5=-3\\ y=3-2\times 1=1\\ z=1+3\times 1=4 \end{cases}$

    Penser à contrôler que $C\in P$
    $3x_C-2y_C+4z_C-5=3\times (-3)-2\times 1+4\times 4-5=-9-2+16-5=0$

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