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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1;3;-1)$, $B(2;1;4)$, $C(5;0;3)$ et $D(4;2;-2)$.
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- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ puis $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ et en déduire la nature de $ABCD$.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-1=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-3=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4-(-1)=5 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 5 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_C-x_D=5-4=1\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_C-y_D=0-2=-2\\ z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=3-(-2)=5 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 5 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=5-2=3\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=0-1=-1\\ z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B=3-4=-1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{BC}}+z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{BC}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=1\times 3+(-2)\times (-1)+5\times (-1)$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=3+2-5$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=0$
On a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme
et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux
- Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AC]$.
Coordonnées du milieu
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$$\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+5}{2}=3\\ y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{3+0}{2}=\dfrac{3}{2}\\ z_I=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{3-1}{2}=1 \end{cases}$
- $S\left(6;\dfrac{11}{2};0\right)$, calculer $\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{AC}$.
Que représente alors $[SI]$ pour la pyramide $ABCDS$?Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Le projeté orthogonal de $S$ sur $(AC)$ est le centre du rectangle $ABCD$...$\overrightarrow{SI}\begin{pmatrix} -4\\ -4\\ 1 \end{pmatrix} $ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4\\ -3\\ 4 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{AC}=-4\times 4+(-4)\times (-3)+1\times 4=-16+12+4=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{SI}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
On a $I$ centre du rectangle $ABCD$ et $(SI)\perp (AC)$
- Calculer alors le volume de cette pyramide.
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$Le volume d'une pyramide est $V=\dfrac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 5 \end{pmatrix} $ donc $AB=\sqrt{1^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{30}$
$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $ donc $BC=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{11}$
$\overrightarrow{SI}\begin{pmatrix} -4\\ -4\\ 1 \end{pmatrix} $ donc $SI=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{33}$
$V=\dfrac{AB\times BC \times SI}{3}$
$\phantom{V}=\dfrac{\sqrt{30}\sqrt{11}\sqrt{33}}{3}$
$\phantom{V}=\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{10}\sqrt{11}\sqrt{3}\sqrt{11}}{3}$
$\phantom{V}=\dfrac{3\times 11 \sqrt{10}}{3}$
$\phantom{V}=11 \sqrt{10}$
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