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Déterminer les complexes solutions des équations ci-dessous.
  1. $\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3$

    Équations du second degré à coefficients réels


    équation du second degré à coefficients réels
    Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
    - Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
    Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
    il faut d'abord déterminer l'ensemble de résolution
    On calcule $\Delta$ et si $\Delta<0$ il n'y a aucune solution dans $\mathbb{R}$ mais des solutions dans $\mathbb{C}$.
    Il faut $z+1\neq 0 $ soit $z\neq -1$
    On résout donc sur $\mathbb{C}\setminus \lbrace -1 \rbrace$.
    $\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3 \Longleftrightarrow 3z+2=(z+3)(z+1)$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow 3z+2=(z+3)(z+1)$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow 3z+2=z^2+3z+z+3$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow 3z+2-z^2-4z-3=0$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow -z^2-z-1=0$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow z^2+z+1=0$
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1 =-3$
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$
    $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$
  2. $\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}=3$
    Déterminer les valeurs interdites solutions de l'équation $z^2+4=0$
    On se ramène à une équation du second degré
    Il faut $z^2+4\neq 0$.
    $z^2+4=0 \Longleftrightarrow z^2=-4 \Longleftrightarrow z=2i$ ou $z=-2i$
    On résout donc sur $\mathbb{C}\setminus \lbrace -2i;2i \rbrace$.
    $\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}=3\Longleftrightarrow (z+2)^2=3(z^2+4)$
    $\phantom{\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}=3} \Longleftrightarrow z^2+4z+4=3z^2+12$
    $\phantom{\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}=3} \Longleftrightarrow z^2+4z+4-3z^2-12=0$
    $\phantom{\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}=3} \Longleftrightarrow -2z^2+4z-8=0$
    $\Delta=4^2-4\times (-2)\times (-8) =16-64=-48$
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-4-i\sqrt{48}}{-4}=\dfrac{-4-i4\sqrt{3}}{-4}=1+i\sqrt{3}$
    $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-4+i\sqrt{48}}{-4}=\dfrac{-4+i4\sqrt{3}}{-4}=1-i\sqrt{3}$


    penser à contrôler avec la calculatrice en calculant $\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équations dans C

- équations du premier degré
- équations avec le conjugué
- équations du second degré


infos: | 15mn |

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