Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
On donne le complexe $z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$
  1. Déterminer la forme algébrique de $z^2$
    On peut utiliser les identités remarquables
    $(\sqrt{2+\sqrt{2}})(\sqrt{2-\sqrt{2}})=\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
    $z^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$
    $\phantom{z^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}^2+2\times \sqrt{2+\sqrt{2}}\times i\sqrt{2-\sqrt{2}}+i^2\sqrt{2-\sqrt{2}}^2$
    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}-(2-\sqrt{2})$

    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}-(2-\sqrt{2})$
    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{2^2-\sqrt{2}^2}-2+\sqrt{2}$
    $\phantom{z^2}=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$
  2. Déterminer la forme trigonométrique de $z^2$.

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
    $|z^2|=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$
    $z=4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    Si on note $\theta=arg\left(z^2\right)$ on a alors:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    et donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$).
  3. En déduire le module et l'argument de $z$.
    On a donc $|z^2|=|z|^2$ et $arg(z^2)=2arg(z)$ ($2\pi$)
    $\left\vert z^2\right\vert =4=|z|^2$ donc $|z|=\sqrt{4}=2$.
    $arg\left(z^2\right)=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi=2arg(z)$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    donc $arg(z)=\dfrac{\pi}{8}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    La mesure principale de $arg(z)$ est donc $\dfrac{\pi}{8}$ ou $\dfrac{\pi}{8}-\pi=\dfrac{-7\pi}{8}$. Or $Re(z)=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ donc $Re(z)>0$.
    $cos\left(\dfrac{-7\pi}{8}\right)<0$ donc $arg(z)=\dfrac{\pi}{8}$ ($2\pi$)
  4. En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
    Il faut utiliser la forme trigonométrique de $z$ et la forme algébrique de $z$.
    On a $z=2e^{i\frac{\pi}{8}}=2\left( cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \right)$
    et $z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$
    Les parties réelles et imaginaires doivent être égales
    donc $2cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ soit $cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
    et $2sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ soit $sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


    Penser à contrôler les calculs avec la calculatrice (réglée en radians...)

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.