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On donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respective $z_A=2+i$, $z_B=5-i$ et $z_C=4+4i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
  1. Calculer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

    Affixe d'un point et d'un vecteur


    Le complexe $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est l'affixe du point $M(x;y)$. l Avec $\overrightarrow{u}(a;b)$, le complexe $u=a+ib$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$.
    $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-i-(2+i)=5-i-2-i=3-2i$
    $z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=4+4i-(2+i)=4+4i-2-i=2+3i$
  2. Ecrire le complexe $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}$ sous forme algébrique.

    Suppression des complexes au dénominateur


    Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
    soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
    Exemple:
    $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du complexe $z_C-z_A$.
    $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=\dfrac{3-2i}{2+3i}$
    $\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{(3-2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$
    $\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{6-9i-4i+6i^2}{2^2+3^2}$
    $\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{6-13i-6}{13}$
    $\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{-13i}{13}$
    $\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=-i$
  3. Calculer $AB$ et $AC$ et en déduire la nature du triangle $ABC$.

    Distances et modules


    Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $AB=|z_B-z_A|$

    Angles et argument d'un quotient


    Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
    $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$
    Il faut calculer le module de $z_{\overrightarrow{AB}}$ et $z_{\overrightarrow{AC}}$ puis l'argument de $-i$
    $AB=|z_{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$
    $AC=|z_{\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
    donc $ABC$ est isocèle en $A$.
    $arg(-i)=\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
    donc $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB})=arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux


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