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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1459

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Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ et on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=4i$ et $z_B=-2$.
A tout complexe $z\neq -2$, on associe le complexe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z-4i}{z+2}$.
  1. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $|z'|=1$.

    Rappel de cours

    Distances et modules

    Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $AB=|z_B-z_A|$

    Aide

    \left\vert \dfrac{z-4i}{z+2}\right\vert=\dfrac{|z-4i|}{|z+2|}$
    L'ensemble des points $M$ équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

    Solution

    $|z'|=1\Longleftrightarrow \left\vert \dfrac{z-4i}{z+2}\right\vert=1$
    $\phantom{|z'|=1}\Longleftrightarrow \dfrac{|z-4i|}{|z+2|}=1$
    $\phantom{|z'|=1}\Longleftrightarrow |z-4i|=|z+2|$
    $|z-4i|=|z-z_A|=AB$ et $|z+2|=|z-z_B|=BM$
    donc $AM=BM$
  2. On pose $z=x+iy$, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.

    Rappel de cours

    Suppression des complexes au dénominateur

    Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
    soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
    Exemple:
    $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$

    Aide

    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $x+iy+2$ soit $x+2-iy$

    Solution

    $z'=\dfrac{z-4i}{z+2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x+iy-4i}{x+iy+2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{(x+iy-4i)(x+2-iy)}{(x+2+iy)(x+2-iy)}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+2x-ixy+ixy+2iy-i^2y^2-4ix-8i+4i^2y}{(x+2)^2+y^2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+2x+y^2-4y+i(2y-4x-8)}{(x+2)^2+y^2}$
  3. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ tels que $z' \in \mathbb{R}$.

    Aide

    On veut que la partie imaginaire de $z'$ soit nulle.

    Solution

    $z' \in \mathbb{R}$ si et seulement si $Im(z')=0$.
    $Im(z')=\dfrac{2y-4x-8}{(x+2)^2+y^2}=0$
    $\Longleftrightarrow 2y-4x-8=0$
    Le point $B$ d'affixe $z_B=-2=-2+0i$ appartient à cet ensemble car $2\times 0-4\times (-2)-8=0$
  4. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_2$ des points $M$ tels que $z'$ soit imaginaire pur.

    Aide

    On veut que la partie réelle de $z'$ soit nulle.
    Rappel: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$ est une équation du cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et rayon $r$

    Solution

    $z' \in i\mathbb{R}$ si et seulement si $Re(z')=0$.
    $Re(z')=\dfrac{x^2+2x+y^2-4y}{(x+2)^2+y^2}=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-4y=0$
    $\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y-2)^2-4=0$
    $\Longleftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=5$
    Le point $B$ d'affixe $z_B=-2=-2+0i$ n'appartient pas à cet ensemble car $(-2+1)^2+(-2-2)^2=17\neq 5$

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