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$z$ est un complexe et on pose $Z$ défini par $Z=\dfrac{z+1}{\overline{z}+1}$.
- Déterminer les complexes $z$ tels que $Z$ soit réel.
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$il faut d'abord déterminer la forme algébrique de $Z$ en posant $z=x+iy$Il faut que le dénominateur soit non nul soit $\overline{z}+1\neq 0$ donc $z\neq -1$.
On pose $z=x+iy$ avec $x $et $y $ réels et $(x;y)\neq (-1;0)$
$Z=\dfrac{z+1}{\overline{z}+1}$
$~~~~~=\dfrac{x+iy+1}{x-iy+1}$
$~~~~~=\dfrac{x+1+iy}{x+1-iy}$ (le conjugué du dénominateur est $x+1+iy$)
$~~~~~=\dfrac{(x+1+iy)(x+1+iy)}{(x+1-iy)(x+1+iy)}$
$~~~~~=\dfrac{(x+1+iy)^2}{(x+1)^2+y^2}$
$~~~~~=\dfrac{(x+1)^2+2(x+1)(iy)+(iy)^2}{(x+1)^2+y^2}$
$~~~~~=\dfrac{(x+1)^2+2(x+1)(iy)-y^2}{(x+1)^2+y^2}$
$~~~~~=\dfrac{(x+1)^2-y^2+i2(x+1)y}{(x+1)^2+y^2}$
On a donc $Re(Z)=\dfrac{(x+1)^2-y^2}{(x+1)^2+y^2}$
et $Im(Z)=\dfrac{2(x+1)y}{(x+1)^2+y^2}$
$Z\in \mathbb{R}\Longleftrightarrow Im(z)=0$
$\phantom{Z\in \mathbb{R}}\Longleftrightarrow 2(x+1)y=0$
$\phantom{Z\in \mathbb{R}}\Longleftrightarrow x=-1$ ou $y=0$
donc $Z$ réel si $z=-1+iy$ avec $y\in \mathbb{R}^*$ ou si $z=x$ avec $x$ réel et $x\neq -1$
- Déterminer les complexes $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.
$Z$ est imaginaire pur si sapartie réelle est nulle$Z~~ imaginaire ~~#pur ~~\Longleftrightarrow Re(Z)=0$
$~\phantom{Z~~ imaginaire pur ~~}\Longleftrightarrow (x+1)^2-y^2=0$
$~\phantom{Z~~ imaginaire pur ~~}\Longleftrightarrow y^2=(x+1)^2$
$~\phantom{Z~~ imaginaire pur ~~}\Longleftrightarrow y=\sqrt{(x+1)^2}$ ou $y=-\sqrt{(x+1)^2}$
$~\phantom{Z~~ imaginaire pur ~~}\Longleftrightarrow y=|x+1|$ ou $y=-|x+1|$
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