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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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  1. Soit $A$ une matrice.
    Quelle doit-être la caractéristique de $A$ pour que l'on puisse calculer $A^2$?
    Pour pouvoir calculer $A\times B$, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$
    $A^2=A\times A$
    Pour pouvoir calculer $A\times A$, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $A$
  2. Calculer $A^2$ avec $A=\begin{pmatrix} 2&1\\ 4&-1 \end{pmatrix}$

    Produit de deux matrices


    Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
    Schématiquement on a:
    $A^2=A\times A$
    $A\times A=\begin{pmatrix} 2\times 2+1\times 4&2\times 1+1\times (-1)\\ 4\times 2+(-1)\times 4&4\times 1+(-1)\times (-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8&1\\ 4&5 \end{pmatrix}$

  3. Calculer $A^3$.
    $A^3=A^2\times A$
    On a $A^2=\begin{pmatrix} 8&1\\ 4&5 \end{pmatrix}$
    $A^3=A^2\times A$
    $\phantom{A^2\times A}=\begin{pmatrix} 8&1\\ 4&5 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&1\\ 4&-1 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^2\times A}=\begin{pmatrix} 8\times 2+1\times 4&8\times 1+1\times (-1)\\ 4\times 2+5\times 4&4\times 1+5\times (-1) \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^2\times A}=\begin{pmatrix} 20&7\\ 28&-1 \end{pmatrix}$


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