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On considère la suite de nombres complexes définie par $z_0=1$ et $z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n$.
On note $z_n$ l'affixe de $A_n$.
    1. Déterminer forme exponentielle de $1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

      Module d'un complexe


      Soit $M$ d'affixe $z$.
      Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.

      Argument d'un complexe


      Soit $M$ d'affixe $z$.
      Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
      Si on note $z=1+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
      $|z|=\sqrt{1^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\sqrt{1+\dfrac{3}{9}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
      $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=1\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{6}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$
      donc $arg(z)=\theta=\dfrac{\pi}{6}$ $(2\pi)$
    2. En déduire la forme exponentielle de $z_1$ et $z_2$
      utiliser le résultat de la question 1
      On a $z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_n $
      $z_1=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_0=\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}$
      $z_2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_1$
      $~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)^2$
      $~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\left(e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)^2$
      $~~~~=\dfrac{4}{3}e^{i\dfrac{2\pi}{6}}$
      $~~~~=\dfrac{4}{3}e^{i\dfrac{\pi}{3}}$
  1. Montrer que pour tout entier naturel $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ne^{i\dfrac{n\pi}{6}}$

    Raisonnement par récurrence


    On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation:
    $P_0$ est vraie
    Hérédité:
    Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
    on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    On a $z_{n+1}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_n $
    Initialisation
    Pour $n=0$ on a $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0e^{i\dfrac{0\times \pi}{6}}=1e^0=1=z_0$
    donc la propriété est vraie.
    Hérédité
    On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que $z_k=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ke^{i\dfrac{k\pi}{6}}$
    $z_{k+1}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_k $
    $~~~~~~=\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ke^{i\dfrac{k\pi}{6}}$
    $~~~~~~=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ke^{i\dfrac{\pi}{6}+i\dfrac{k\pi}{6}}$
    $~~~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{k+1}e^{i\dfrac{(k+1)\pi}{6}}$


    On pourrait aussi étendre le résultat des suites géométriques aux complexes avec la suite $(z_n)$ de raison $q=\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}$ et de premier terme $z_0=1$ et on a alors $z_n=z_0\times q^n$....
  2. Pour quelles valeurs de $n>0$ a-t-on $O$, $A_0$ et $A_n$ alignés?

    Angles et argument d'un quotient


    Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
    $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$
    Il faut que l'angle entre les vecteuirs $\overrightarrow{OA_n}$ et $\overrightarrow{OA_0}$ soit $0+k2\pi$ ou bien $\pi+k2\pi$
    c'est à dire finalement $0+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_n})= arg \left(\dfrac{z_n-0}{z_0-0}\right)=arg \left(\dfrac{z_n}{z_0}\right)= arg \left(\dfrac{z_n}{1}\right)=arg \left(z_n\right)=\dfrac{n\pi}{6}$ $(2\pi)$
    $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si et seulement si $(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_n})=0+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $\dfrac{n\pi}{6}=k\pi\Longleftrightarrow \dfrac{n}{6}=k\Longleftrightarrow n=6k$
    Or $n>0$ donc $k\in \mathbb{N}_+^*$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on pose $d_n=|z_{n+1}-z_n|$
    1. Interpréter géométriquement $d_n$

      Distances et modules


      Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
      $AB=|z_B-z_A|$
      L'affixe de $A_{n+1}$ est $z_{n+1}$ et l'affixe de $A_n$ est $z_n$
      $A_{n+1}$ a pour affixe $z_{n+1}$ et $A_n$ a pour affixe $z_n$
      donc $d_n=|z_{n+1}-z_n|=A_nA_{n+1}$
    2. Calculer $d_0$
      $d_0=|z_1-z_0|=|z_1-1|=\left|1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|=\left|i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
    3. Montrer que pour tout entier $n$ on a $z_{n+2}-z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(z_{n+1}-z_n)$
      On a $z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n$ et $z_{n+2}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1}$
      On a $z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n$ et $z_{n+2}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(z_{n+1}$
      $z_{n+2}-z_{n+1}$
      $=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1}-\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n}$
      $=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(z_{n+1}-z_{n})$
    4. Montrer que la suite $(d_n)$ est géométrique et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.

      Suite géométrique


      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

      Forme explicite d'une suite géométrique


      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
      On a $d_{n+1}=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right|$
      $d_{n+1}=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right|$
      $~~~~~=\left|\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(z_{n+1}-z_{n})\right|$
      $~~~~~=\left|1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|\times |z_{n+1}-z_{n}|$
      $~~~~~=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\times d_n$
      donc $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et premier terme $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
  4. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $|z_{n+1}|^2=|z_n|^2+d_n^2$ et en déduire la nature du triangle $OA_nA_{n+1}$.
    On a $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ne^{i\dfrac{n\pi}{6}}$ donc $|z_n|=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$
    $|z_n|^2=\left(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$
    $|z_{n+1}|^2=\left(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2}$
    $d_n^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right)^2$
    $d_n^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\times \left(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right)^2$
    $d_n^2=\dfrac{3}{9}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$
    $d_n^2=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$ donc $|z_n|^2+d_n^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}+\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$
    $~~~~~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}\left(1+\dfrac{1}{3}\right)$
    $~~~~~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}\times \dfrac{4}{3}$
    $~~~~~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2$
    $~~~~~~~~=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2}$
    $~~~~~~~~=|z_{n+1}|^2$

    $|z_{n+1}|^2=|z_n|^2+d_n^2\Longleftrightarrow OA_{n+1}^2=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2$
  5. Explique comment construire le point $A_5$ uniquement à la règle (non graduée), à l'équerre et au compas.
    $A_4OA_5$ est un triangle rectangle en $A_4$
    et $A_5OA_6$ est un triangle rectangle en $A_5$ donc $A_5$ appartient au cercle de diamètre $[OA_6]$ et $(A_4A_5)$ est perpendiculaire à $(OA_4)$

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