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Partie 1: linéarisation de $cos^4(x)$
  1. Avec les formules d'Euler
    1. Rappeler la formule d'Euler pour $cos(x)$
      Compléter alors $e^{4ix}+e^{-4ix}=...........$ et $e^{2ix}+e^{-2ix}=............$

      On a donc $2cos(x)=e^{ix}+e^{-ix}$
      donc si on remplace $x$ par $2x$ puis par $4x$ on a
    2. Développer $(a+b)^4$ puis $\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4$ en simplifiant au maximum.

      Binôme de Newton


      Soient $z$ et $z'$ deux complexes et $n$ un entier naturel.
      $(z+z')^n=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}z'^n+\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}zz'^{n-1}+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}z^2z'^{n-2}+...+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}z^n=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}z^kz'^{n-k}$}
      Coefficients binomiaux:
      - $\begin{pmatrix} n\\n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\0\end{pmatrix}=1$
      - $\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
      $n!=n(n-1)(n-2)...\times 3\times 2\times 1$
      $(a+b)^4=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}a^4+\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}a^1b^{3}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}a^2b^2+\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}a^3b^1+\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}b^4$
      Calculs des coefficients sans la calculatrice:
      On a $\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ avec $n!=n(n-1)(n-2)...\times 3\times 2\times 1$ (et $0!=1$)
      $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{0!4!}=1$
      $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{1!3!}=\dfrac{4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1}=4$
      $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1\times 2\times 1}=\dfrac{4\times 3}{2\times 1}=6$

      Avec la calculatrice CASIO par exemple OPTIONS puis PROB puis nCr
      donc $(a+b)^4=a^4+4a^1b^{3}+6a^2b^2+4a^3b^1+b^4$
      Avec $a=e^{ix}$ et $b=e^{-ix}$ on a:
      $\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4=(e^{ix})^4+4e^{ix}(e^{-ix})^{3}+6(e^{ix})^2(e^{-ix})^2+4(e^{ix})^3(e^{-ix})+(e^{-ix})^4$
      $\phantom{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}=e^{4ix}+4e^{ix}e^{-3ix}+6e^{2ix}e^{-2ix}+4e^{3ix}e^{-ix}+e^{-4ix}$
      $\phantom{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}=e^{4ix}+4e^{-2ix}+6e^{0x}+4e^{2ix}+e^{-4ix}$
      $\phantom{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}=e^{4ix}+e^{-4ix}+4\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)+6$
      $\phantom{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}=2cos(4x)+4\times 2cos(2x)+6$

      $\phantom{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}=2cos(4x)+8cos(2x)+6$
    3. En déduire la linéarisation de $(cos(x))^4$, c'est à dire l'écriture de $cos^4(x)$ en fonction de $cos(4x)$ et de $cos(2x)$
      On a $cos(x)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
      $cos^4(x)=\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^4$
      $~~~~~~=\dfrac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}{2^4}$
      $~~~~~~=\dfrac{2cos(4x)+8cos(2x)+6}{2^4}$
      $~~~~~~=\dfrac{2cos(4x)+8cos(2x)+6}{16}$
      $~~~~~~=\dfrac{cos(4x)+4cos(2x)+3}{8}$
  2. Avec les formules de duplication
    Rappel: $cos(2x)=2cos^2(x)-1$
    1. Exprimer $cos^2(x)$ en fonction de $cos(2x)$ puis $cos^2(2x)$ en fonction de $cos(4x)$
      $cos(2x)=2cos^2(x)-1\Longleftrightarrow cos(2x)+1=2cos^2(x)\Longleftrightarrow \dfrac{cos(2x)+1}{2}=cos^2(x)$
    2. On a $cos^4(x)=\left(cos^2(x)\right)^2$
      Exprimer $cos^4(x)$ en fonction de $cos(2x)$
      En déduire l'expression de $cos^4(x)$ en fonction de $cos(2x)$ et de $cos(4x)$ et retrouver le résultat de la question 1.
      On a $(cos(x))^4=(cos(x)^2)^2$
      $cos^4(x)=(cos(x)^2)^2$
      $~~~~~~=(cos(x)^2)^2$ car $cos^2(x)=\dfrac{cos(2x)+1}{2}$)
      $~~~~~~=\left(\dfrac{cos(2x)+1}{2}\right)^2$
      $~~~~~~=\dfrac{cos^2(2x)+2cos(2x)+1}{4}$
      $~~~~~~=\dfrac{ \dfrac{cos(4x)+1}{2}+2cos(2x)+1}{4}$ car $cos^2(2x)=\dfrac{cos(4x)+1}{2}$
      $~~~~~~=\dfrac{ \dfrac{cos(4x)+1+4cos(2x)+2}{2}}{4}$
      $~~~~~~= \dfrac{cos(4x)+4cos(2x)+3}{8}$

Partie 2: Application
Rappel: La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(sin(x))'=cos(x)$.
  1. Déterminer la dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=sin(ax)$ ($a$ réel non nul) en fonction de $a$.

    Dérivée d'une fonction composée


    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.
    On pose $u(x)=ax$ et $v(x)=sin(x)$
    et on a $u'(x)=a$ et $v'(x)=cos(x)$
    $h(x)=vou(x)$ donc $h'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=cos(ax)\times a$
  2. En déduire une primitive de $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=cos(4x)$ et $g(x)=cos(2x)$.
    On rappelle que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si on a $F'(x)=f(x)$
    (sin(4x))'=4cos(4x)$...
    $F(x)=\dfrac{sin(4x)}{4}$ car $F'(x)=\dfrac{4cos(4x)}{4}=cos(4x)=f(x)$
    $G(x)=\dfrac{sin(2x)}{2}$ car $F'(x)=\dfrac{2cos(2x)}{2}=cos(2x)=g(x)$
  3. Déterminer alors une primitive de la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=cos^4(x)$ (utilisera la partie 1).
    On peut utilioser le résultat de la linéarisationd e $cos^4(x)$
    $k(x)=cos^4(x))= \dfrac{cos(4x)+4cos(2x)+3}{8}= \dfrac{f(x)+4g(x)+3}{8}$
    donc une primitive $K$ de $k$ est:
    $K(x)=\dfrac{F(x)+4G(x)+3x}{8}$
    $~~~~=\dfrac{\dfrac{sin(4x)}{4}+4\dfrac{sin(2x)}{2}+3x}{8}$

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