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Résoudre les inéquations
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- $|x-2|\leq 3$
Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$
Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
On veut $AM \leq r$.
L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.
donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$Avec un axe gradué, on peut utiliser le point $A$ d'abscisse $2$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et $AM=|x-2|$- Avec les distances
Sur un axe gradué, $A$ a pour abscisse $2$ et $M$ pour abscisse $x$.
$AM=d(2;x)=|x-2|$
et on veut $AM\leq 3$
donc $x$ appartient à l'intervalle fermé de centre $2$ et rayon $3$
donc $x \in [2-3;2+3]$
- Par le calcul
$|x-2|\leq 3$
$\Longleftrightarrow -3\leq x-2 \leq 3$
$\Longleftrightarrow -3+2\leq x-2+2 \leq 3+2$
$\Longleftrightarrow -1\leq x \leq 5$
- $|x+1|< 2$
on a $|x+1|=|x-(-1)|$- Avec les distances
Sur un axe gradué, $A$ a pour abscisse $-1$ et $M$ pour abscisse $x$.
$AM=d(-1;x)=|x-(-1)|=|x+1|$
et on veut $AM <2$
donc $x$ appartient à l'intervalle ouvert de centre $-1$ et rayon $2$
donc $x \in ]-1-2;-1+2[$
- Par le calcul
$|x+1|< 2$
$\Longleftrightarrow -2 < x+1 < 2$
$\Longleftrightarrow -2-1 < x+1-1 < 2-1$
$\Longleftrightarrow - 3< x < 1$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Résolution d'équations et d'inéquations avec valeur absolue
- équations de la forme $|x-a|=r$ avec $r > 0$
inéquations de la forme $|x-a|\leq r$
- distances sur un axe gradué
infos: | 10-15mn |
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