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- Donner la liste des diviseurs de $15$
$15=1\times 15=3\times 5$
- Montrer que pour tout entier relatif $n$ on a $n^2-n-27=(n-7)(n+6)+15$
- En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles on a $n-7$ diviseur de $n^2-n-27$.
On peut utiliser le 2 et écrire une égalité de la forme $(n-7)(n+6)=...$$n-7$ diviseur de $n^2-n-27 \Longleftrightarrow$ il existe un entier relatif $k$ tel que $n^2-n-27=k(n-7)$
$n^2-n-27=k(n-7)\Longleftrightarrow (n-7)(n+6)+15=k(n-7)$
$\phantom{n^2-n-27=k(n-7)}\Longleftrightarrow 15=k(n-7)-(n-7)(n+6)$
$\phantom{n^2-n-27=k(n-7)}\Longleftrightarrow 15=(n-7)(k-(n+6))$
$\phantom{n^2-n-27=k(n-7)}\Longleftrightarrow 15=(n-7)(k-n-6)$
donc $n-7$ est un diviseur de $15$
On peut résumer ceci dans le tableau ci-dessous:
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