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Soit $(E)$ l'équation $xy-5x-5y-7=0$
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- Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $xy-5x-5y-7=0\Longleftrightarrow (x-5)(y-5)=32$
$(x-5)(y-5)=32 \Longleftrightarrow xy-5x-5y+25=32\Longleftrightarrow xy-5x-5y-7=0$
- En déduire les solutions dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ de l'équation $(E)$
On peut chercher la liste des diviseurs de $32$$xy-5x-5y-7=0\Longleftrightarrow (x-5)(y-5)=32$
donc $x-5$ et $y-5$ sont des diviseurs de $32$
$x$ et $y$ entiers naturels donc $x-5\geq -5$ et $y-5\geq -5$
On a $32=1\times 32$
donc $\begin{cases}x-5=1\\y-5=32\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=6\\y=37\end{cases}$
On a $32=2\times 16$
donc $\begin{cases}x-5=2\\y-5=16\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=7\\y=21\end{cases}$
On a $32=4\times 8$
donc $\begin{cases}x-5=4\\y-5=8\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=9\\y=13\end{cases}$
Par symétrie on a aussi $x=37$ et $y=6$, $x=21$ et $y=7$, $x=13$ et $y=9$.
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