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On pose $a_n=n^5-n$ avec $n\in \mathbb{N}$.
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- Montrer que $a_n$ est pair.
Entiers pairs et impairs
Si $n$ est un entier relatif pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$
Si $n$ est un entier relatif impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$On peut poser$n=2k$ si $n$ pair et $n=2k+1$ si nimpair.Cas 1: $n$ pair
On peut poser $n=2k$ avec $k$ entier naturel.
On a alors:
$n^5-n=n(n^4-1)=2k(n^4-1)=2K$ avec$K=k(n^4-1$ entier relatif
donc $a_n$ est pair.
-Cas $n$ impair
On peut poser $n=2k+1$ avec $k$ entier naturel.
$a_n=n(n^4-1)$
$~~~~=n((2k+1)^4-1)$ avec $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
$~~~~=n(16k^4+4\times 8k^3+6\times 4k^2+4\times 2k+1-1)$
$~~~~=n(16k^4+32k^3+24k^2+8k)$
$~~~~=2n(8k^4+16k^3+12k^2+4k)$
$~~~~=2K'$ avec $K=n(8k^4+16k^3+12k^2+4k)$ entier relatif
donc $a_n$ est pair.
- Montrer que $a_n$ est divisible par $3$.
On peut poser $n\equiv p$ ($3$) avec $0\leq p \leq 2$Avec les congruences:
Supposons $n\equiv p$ $(3)$ avec $0\leq p\leq 2$
On a alors:
$n^5\equiv p^5$ $(3)$
et $-n\equiv -p$ $(3)$
Par somme $a_n=n^5-n\equiv p^5-p$ $(3)$
donc $n^5-n\equiv p^5-p\equiv 0$ $(3)$
donc le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $3$ est $0$
- En utilisant les congruences modulo $5$, montrer que $a_n$ est un multiple de $5$.
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$On peut utiliser les restes de la division euclidienne de $n$ par $5$Supposons $n\equiv p$ $(5)$ avec $0\leq p\leq 4$
On a alors:
$n^5\equiv p^5$ $(5)$
et $-n\equiv -p$ $(5)$
Par somme $a_n=n^5-n\equiv p^5-p$ $(5)$
$n^5-n\equiv p^5-p$ $(5)$ et $p^5-p\equiv 0$ $(5)$
donc $n^5-n\equiv 0$ $(5)$
donc le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $5$ est $0$
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