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- Déterminer le reste de la division euclidienne de $5^{3n}-6^n$ par $17$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$On peut décomposer $5^{3n}$ sous la forme $(5^3)^n$$5^{3n}-6^n=\left(5^3\right)^n-6^n$
$5^3=125$ et $125=17\times 7+6$
donc $5^3\equiv 6$ $(17)$
donc $5^{3n}\equiv 6^n$ $(17)$
et $-6^n\equiv -6^n$ $(17)$
donc par somme $5^{3n}-6^n\equiv 6^n-6^n\equiv 0$ $(17)$
- $n\in \mathbb{N}$, $5^n-3^n$ est-il divisible par $4$?
Chercher les congruences de $5$ et $3$ mnodulo 4$5\equiv 1$ $(4)$ et $3\equiv -1$ $(4)$
donc $5^n\equiv 1^n\equiv 1$ $(4)$
et $3^n\equiv (-1)^n$ $(4)$
Par somme on a $5^n-3^n\equiv 1-(-1)^n$ $(4)$
- si $n$ est pair alors $(-1)^n=1$, on a:
$5^n-3^n\equiv 1-1\equiv 0$ $(4)$
donc $5^n-3^n$ est divisible par $4$
- Si $n$ est impair alors $(-1)^n=-1$, on a:
$5^n-3^n\equiv 1-(-1)\equiv 2$ $(4)$
donc $5^n-3^n$ n'est pas divisible par $4$
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