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Affirmation: la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
On rappelle (ex 159) que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle et que $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ (voir ex 151)
  1. On pose $a=10-\sqrt{2}$. Montrer que $a$ est irrationnel.
    10 est un entier (donc un nombre rationnel) et $\sqrt{2}$ est irrationnel.
    $a=10-\sqrt{2}=10+(-\sqrt{2}$
    $a$ est la somme d'un nombre entier donc rationnel et de $-\sqrt{2}$ qui est irrationnel puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel
  2. On pose $b=\sqrt{2}$.
    Calculer $a+b$ montrer que l'affirmation donnée au départ est fausse.
    $a+b$ est la somme d'un nombre rationnel $b$ et de $a$ irrationnel.
    $a+b=10-\sqrt{2}+\sqrt{2}=10$
    donc $a+b$ est un entier donc un rationnel.
    $a+b$ est donc la somme de $a$ irrationnel (question 1) et de $b$ irrationnel
    et est un nombre entier donc rationnel
    ce qui est en contradiction avec l'affirmation $A$


    Pour justifier qu'une propriété est fausse, il suffit de trouver un contre exemple, c'est à dire un exemple pour lequel cette propriété n'est pas vérifiée.

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