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  1. maths seconde
  2. chapitre 3 Calculs et équations
  3. exercice corrigé nº214

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On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $E$: $x^3+5x^2-x-5=0$
  1. Montrer que $-1$ est une solution de cette équation.

    Rappel de cours

    Solution d'une équation

    $\alpha$ est une solution d'une équation si l'égalité est vérifiée quand on remplace l'inconnue par la valeur de $\alpha$.
    Par exemple $-2$ est une solution de l'équation $3x^2+4x-4=0$.
    En effet, en remplaçant $x$ par la valeur $-2$, on a: $3\times (-2)^2+4\times (-2)-4=12-8-4=0$

    Aide

    Il faut vérifier qu'en remplçant $x$ par $-1$, l'équation $E$ est bien vérifiée.

    Solution

    $(-1)^3+5\times (-1)^2-(-1)-5=-1+5+1-5=0$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, on a: $x^3+5x^2-x-5=(x+1)(x^2+4x-5)$

    Aide

    Développer puis simplifier le membre de droite
    $(x+1)(x^2+4x-5)=$.....

    Solution

    $(x+1)(x^2+4x-5)=x^3+4x^2-5x+x^2+4x-5=x^3+5x^2-x-5$\\


    Si $\alpha=-1$ est une solution de l'équation, cela signifie que l'expression peut s'écrire sous forme factorisée avec $x-\alpha$ comme facteur soit ici $x+1$.
    On a alors $(x+1)(ax^2+bx+c)=0$ donc si $x=-1$, on a bien une solution de l'équation.
  3. Montrer que pour tout réel $x$, on a $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$

    Aide

    Développer l'expression $(x-1)(x+5)$

    Solution

    $(x-1)(x+5)=x^2-x+5x-5=x^2+4x-5$
  4. En déduire les solutions de $x^3+5x^2-x-5=0$

    Rappel de cours

    Produit de facteurs nul

    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
    $a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$

    Aide

    Utiliser la forme factorisée pour résoudre l'équation faie

    Solution

    On a montré que pour tout réel $x$, $x^3+5x^2-x-5=(x+1)(x^2+4x-5)$
    et que $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$
    donc $x^3+5x^2-x-5=(x+1)(x^2+4x-5)=(x+1)(x-1)(x+5)$
    $x^3+5x^2-x-5=0 \Longleftrightarrow (x+1)(x-1)(x+5)=0$
    $\phantom{x^3+5x^2-x-5=0} \Longleftrightarrow x+1=0$ ou $x-1=0$ ou $x+5=0$
    $\phantom{x^3+5x^2-x-5=0} \Longleftrightarrow x=-1$ ou $x=1$ ou $x=-5$


    On peut contrôler avec la calculatrice en utilisant le MENU EQUA et en sélectionnant POLY puis degré 3 et en saisissant les coefficients $a=1$ , $b=5$, $c=-1$ et $d=-5$ de l'équation $x^3+5x^2-x-5=0$ (forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$)

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nº199 Équations se ramenant à un produit de facteurs nul
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