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Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un carré de côté $x$ cm et on a $AF=2cm$ et $CG=3$ cm.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ on a $x^2-10x=(x-5)^2-25$.

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On peut développer $(x-5)^2-25$
    $(x-5)^2-25=x^2-2\times x\times 5+5^2-25=x^2-10x$
  2. Peut-on trouver un carré $ABCD$ tel que l'aire du rectangle $BGEF$ soit égale à l'aire du polygone $ADCGEF$?
    Il faut exprimer l'aire de chacun des polygone en fonction de $x$
    On a $AB=x$ et $AF=2$ donc $BF=x-2$.
    On a $BC=x$ et $GC=3$ donc $BG=x-3$.
    L'aire $A$ du rectangle $BGEF$ est donc $A=(x-2)(x-3)$ cm$^2$.

    On a $AE'=x-3$ et $AF=2$ donc $A_{AFEE'}=2(x-3)=2x-6$ cm$^2$
    et $A_{DCGE'}=3x$
    donc l'aire $A'$ du quadrilatère $ADCGEF$ est $A=2x-6+3x=5x-6$.

    On peut aussi calculer l'aire du polygone $ADCGEF$ en enlevant l'aire du rectangle $BGEF$ à celle du carré $ABCD$ et on a alors:
    $A=x^2-(x-3)(x-2)=x^2-(x^2-3x-2x+6)=5x-6$

    Il faut donc résoudre l'équation $(x-2)(x-3)=5x-6$
    $(x-2)(x-3)=5x-6\Longleftrightarrow x^2-3x-2x+6=5x-6$
    $\phantom{(x-2)(x-3)=5x-6} \Longleftrightarrow x^2-5x+6-5x+6=0$
    $\phantom{(x-2)(x-3)=5x-6} \Longleftrightarrow x^2-10x+12=0$
    Il faut factoriser $x^2-10x+12$.
    $x^2-10x+12=(x-5)^2-25+12$
    $\phantom{x^2-10x+12}=(x-5)^2-13$
    $\phantom{x^2-10x+12}=(x-5)^2-\sqrt{13}^2$
    $\phantom{x^2-10x+12}=(x-5-\sqrt{13})(x-5+\sqrt{13})$
    donc on a: $x^2-10x+12=0 \Longleftrightarrow (x-5-\sqrt{13})(x-5+\sqrt{13})=0$
    $\phantom{x^2-10x+12=0} \Longleftrightarrow x-5-\sqrt{13}=0$ ou $x-5+\sqrt{13}=0$
    $\phantom{x^2-10x+12=0} \Longleftrightarrow x=5+\sqrt{13}$ ou $x=5-\sqrt{13}$
    $5+\sqrt{13}\approx 8,6$ et $5-\sqrt{13}\approx 1,4$
    Comme $CG=3$ alors la distance $CB$ est supérieure à 3 donc $x\geq 3$

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