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- Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a $a^2+b^2 \geq 2ab$
Comparer deux nombres
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, $a < b$ si et seulement si $b-a>0$
Conséquence: Pour comparer deux nombres ou deux expressions, on peut étudier le signe de leur différence.Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut étudier le signe de $a^2+b^2-2ab$$a^2+b^2-2ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
or un carré est toujours positif donc $a^2+b^2-2ab \geq 0$
- Pour tous réels $a$, $b$ et $c$, en déduire des inégalités semblables pour $a^2+c^2$ et $b^2+c^2$.
- En déduire que pour tous réels $a$, $b$ et $c$ on a $a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$
On peut ajouter membre à membre les inégalités obtenues à la question 2$a^2+b^2 \geq 2ab$
$a^2+c^2 \geq 2ac$
$b^2+c^2 \geq 2bc$.
donc en ajoutant membre à membre, on a:
$a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2 \geq 2ab+2ac+2bc$
soit $2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2ac+2bc$
donc $2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+ac+bc)$
et en divisant les deux membres par 2 on a
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