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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+3$ et on donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de $f$ dans un repère orthogonal.
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- La fonction $g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{1}{2}x+1$ et on note $D$ sa représentation graphique dans le même repère que $C_f$
Tracer $D$.Fonction affine
Une fonction afffine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite coupant l'axe des ordonnées au point $(0;b)$ et l'axe des abscisses au point $\left(\dfrac{-b}{a}\right)$ (si $a\neq 0$).
Si $a=0$ alors la droite est parallèle à l'axe des abscisses.$D$ est une droite donc il faut calculer les coordonnées de deux points de $D$$g$ est un fonction affine donc sa représentation graphique $D$ est une droite.
$g(0)=1$ et $g(2)=\dfrac{1}{2}\times 2+1=2$
- Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1$
On veut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$$x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1 \Longleftrightarrow f(x)\leq g(x)$
Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ sont les abscisses (en vert) des points (en bleu) de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$
- Montrer que pour tout réel $x$, on a $x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1 \Longleftrightarrow (2x-1)(x-4) \leq 0$
On peut développer l'expression proposée à droite$x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1 \Longleftrightarrow 2x^2-8x+6 \leq x+2$ (en multipliant les deux membres par 2)
$\phantom{x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1} \Longleftrightarrow 2x^2-8x+6 -x-2\leq 0$
$\phantom{x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1} \Longleftrightarrow 2x^2-9x+4\leq 0$
$(2x-1)(x-4)=2x^2-x-8x+4=2x^2-9x+4$
- retrouver le résultat de la question 2 par le calcul.
Signe de $ax+b$
Deux cas possibles:
Il faut étudier le signe du produit $ (2x-1)(x-4)$$x^2-4x+3 \leq \dfrac{1}{2}x+1 \Longleftrightarrow (2x-1)(x-4) \leq 0$
$2x-1$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{2}$
et $x-4$ s'annule pour $x=4$
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