MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Fonctions de références et étude de fonctions

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$.

Rappeler le tableau de variation de $f$.

Solution

La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$.
Pour tout réel $x$, exprimer $f(-x)$ en fonction de $f(x)$.
En déduire que la courbe représentative de $f$ admet un centre de symétrie dont on précisera les coordonnées.

Aide

$M(x;f(x))$ appartient à la courbe et $M'(-x;f(-x))$ appartient à la courbe avec $y_M'=-y_M$

Solution

$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
Les points $M(x;f(x))$ et $M'(-x;f(-x))$ appartiennent à la courbe et ont des coordonnées opposées.
Graphiquement:

donc $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère
Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal (1cm pour unité sur l'axe des abscisses et 0,5 cm pour unité sur l'axe des ordonnées).

Aide

On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour faire un tableau de valeurs

Solution
En utilisant le graphique, donner le nombre de solutions de l'équation $x^3=5$ et en donner un encadrement d'amplitude $0,5$.

Rappel de cours

Antécédents par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$

Aide

Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 5
Un encadrement d'amplitude $0,5$ est par exemple $1,5 < x < 2$ (écart $0,5$ entre les deux bornes de l'encadrement

Solution

Graphiquement, il faut tracer la droite d'équation $y=5$.
Les solutions de l'équation $f(x)=5$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de cette droite.