MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Fonctions de références et étude de fonctions

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Dans chaque cas, déterminer si la fonction est paire ou impaire.
Sans calcul, compléter si cela est possible la représentation graphique de $f$ donnée partiellement.

$f$ est définie sur $[-5;5]$ par $f(x)=x^2-3$.

Rappel de cours

Fonction paire
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire si pour tout réel $x$ de $D$ on a:
$\begin{cases} -x\in D\\ f(-x)=f(x) \end{cases}$
La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Remarque: pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ signifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro.
Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être paire.

Aide

Il faut que l'ensemble de définition soit symétrique par rapport au zéro
Exprimer $f(-x)$ en fonction de $f(x)$ si cela est possible

Solution

Pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ ($[-5;5]$ est symétrique par rapport au zéro)
$f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)$

La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est définie sur $[-3;2]$ par $f(x)=x^3-5$.

Aide

$-2,5\in D$ mais il faut que $2,5$ appartienne aussi à $D$ pour qu'il puisse y avoir symétrie

Solution

$-2,5\in D$ et $2,5\notin D$ donc pour tout réel $x\in D$, son opposé n'appartient pas obligatoirement à $D$ (l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport au zéro)

On ne peut donc compléter le graphique sans faire de tableau de valeurs.
$f$ est définie sur $[-3;0[\cup ]0;3]$ par $f(x)=\dfrac{-2}{x}$.

Rappel de cours

Fonction impaire
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est impaire si pour tout réel $x$ de $D$ on a:
$\begin{cases} -x\in D\\ f(-x)=-f(x) \end{cases}$
La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.
Remarque: pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ signifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro.
Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être impaire.

Aide

Vérifier que $D_f$ est symétrique par rapport au zéro
Calculer $f(-x)$

Solution

Pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ (l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro)
Pour tout réel $x\in D$ on a:
$f(-x)=\dfrac{-2}{-x}=-\dfrac{-2}{x}=-f(x)$

La courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.
$f$ est définie sur $[-6;6]$ par $f(x)=2x^2-4x+5$.

Aide

Vérifier que $D_f$ est symétrique par rapport au zéro
Calculer $f(-x)$

Solution

Pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ (l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro)
Pour tout réel $x\in D$ on a:
$f(-x)=2\times (-x)^2-4\times (-x)+5=2x^2+4x+5$
donc $f(-x)\neq f(x)$
$-f(x)=-2x^2+4x-5\neq f(-x)$

On ne peut donc compléter le graphique sans faire de tableau de valeurs.