MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Géométrie, vecteurs et coordonnées

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$ABC$ est un triangle.

Construire le point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Rappel de cours

Somme de deux vecteurs
Si on a $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.

Figures de base:

Aide

On veut construire la somme de deux vecteurs ayant la même origine

Solution

Il faut construire le parallélogramme $ABMC$
Construire le point $N$ tel que $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}$

Rappel de cours

Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Aide

On peut simplifier cette somme avant de chercher le point $N$

Solution

$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}$
$~~~~~~~=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CC}$
$~~~~~~~=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{0}$
$~~~~~~~=\overrightarrow{CA}$
Il faut construire le parallélogramme $CANB$
Construire le point $P$ tel que $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$

Rappel de cours

Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Aide

On peut simplifier cette somme avant de chercher le point $P$

Solution

$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$
$~~~~~~~=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
$~~~~~~~=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}$
$~~~~~~~=2\overrightarrow{AC}$
ou encore $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$ (voir produit d'un vecteur par un réel)