La seule donnée concernant le point $M$ est $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
donc on va donc utiliser la relation de Chasles pour faire "apparaître" le vecteur $\overrightarrow{BM}$ dans la décomposition de $\overrightarrow{CM}$
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}$
$\phantom{\overrightarrow{CM}}=\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$\phantom{\overrightarrow{CM}}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
La seule donnée concernant le point $N$ est $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}$.
donc on va décomposer le vecteur $\overrightarrow{CN}$ pour faire "apparaître" le vecteur $\overrightarrow{AN}$. $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}$
$\phantom{\overrightarrow{CN}}=\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AD}$
On veut dans le résultat les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $ \overrightarrow{DC}$ donc le vecteur $\overrightarrow{CA}$ ne nous intéresse pas...
$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{AD}$
$\phantom{\overrightarrow{CN}}=-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AD}$
$\phantom{\overrightarrow{CN}}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}$

$ABCD$ est un parallélogramme(voir figure ci-dessous) donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$\phantom{\overrightarrow{CM}}=-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$
On peut remarquer que les coefficients de $\overrightarrow{CM}$ sont multipliés par $-2$ pour obtenir ceux de $\overrightarrow{CN}$
$-2\overrightarrow{CM}=-2\left(-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}\right)$
$\phantom{-2\overrightarrow{CM}}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}$
$\phantom{-2\overrightarrow{CM}}=\overrightarrow{CN}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CN}$ sont colinéaires
donc les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.
Figure

Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$, on a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$ et $D(0;1)$.
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_M-x_B=\dfrac{1}{2}(x_B-x_A)\\ y_M-y_B=\dfrac{1}{2}(y_B-y_A) \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_M-1=\dfrac{1}{2}\\ y_M=\dfrac{1}{2}\times 0 \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_M=\dfrac{3}{2}\\ y_M=0 \end{cases}$
donc $M\left(\dfrac{3}{2};0\right)$
$\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}$
et $A$ est l'origine du repère donc $N(0;3)$.
Calcul des coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CN}$
$ \begin{cases} x_{\overrightarrow{CM}}= x_M-x_C=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}\\ y_{\overrightarrow{CM}}= y_M-y_C=0-1=-1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{CM}\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$
$ \begin{cases} x_{\overrightarrow{CN}}= x_N-x_C=0-1=-1\\ y_{\overrightarrow{CN}}= y_N-y_C=3-1=2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{CN}\left(-1;2\right)$
- critère de colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CN}$
$x_{\overrightarrow{CM}}\times y_{\overrightarrow{CN}}-y_{\overrightarrow{CM}}\times x_{\overrightarrow{CN}}=\dfrac{1}{2}\times 2-(-1)\times (-1)=1-1=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CN}$ sont colinéaires
donc les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.