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Dans le plan muni d'un repère orthonormé,on a les points $A(2;1)$ et $B(1;5)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}(2;-3)$
  1. Déterminer une équation de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite (d)
    $M(x;y)\in$(d) si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires
    Soit $M(x;y)$ un point de la droite (d).
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-1 \end{cases}$
    $\overrightarrow{AM}(x-2;y-1)$
    $M\in$(d)
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
    $\Longleftrightarrow 2(y-1)-(-3)(x-2)=0$
    $\Longleftrightarrow 2y-2+3x-6=0$
    $\Longleftrightarrow -3x+2y-8=0$
  2. Tracer les droites (d), (AB) et (d') dans un même repère.
    sachant que $2x-3y-1=0$ est une équation de (d')
    Pour tracer (d'), on peut calculer les coordonnées de deux points de (d')
    Pour tracer (d'), on peut calculer les coordonnées de deux points de (d'):
    Si $x=-1$, on a $-2-3y-1=0 \Longleftrightarrow -3y=3 \Longleftrightarrow y=-1$
    Si $x=2$, on a $4-3y-1=0 \Longleftrightarrow -3y=-3 \Longleftrightarrow y=1$
  3. Que peut-on dire de ces trois droites?
    $A\in (AB)$ et $A \in$(d)
    Pour la droite (d'), on a:
    $2x_A-3y_A-1=4-3-1=0$
    donc $A \in$(d')
    donc les droites (d), (AB), et (d') passent toutes par le point A

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équations cartésiennes

- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle


infos: | 20-25mn |

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