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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne les points $A(1;2)$, $B(2;5)$ et $C(6;-2)$
  1. On note I le milieu de [AB].
    Déterminer une équation de la médiane issue de C dans le triangle ABC.

    Coordonnées du milieu d'un segment


    Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    Rappel: la médiane issue de C dans le triangle ABC est la droite passant par C et le milieu I du segment [AB]
    Un point $M(x;y)$ appartient à la droite (CI) si et seulement si $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires
    $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2} \\ y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac{7}{2} \end{cases}$
    donc $I\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2} \right) $
    $\overrightarrow{CI}$ est un vecteur directeur de la médiane (CI) issue de C dans ABC.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CI}}=x_I-x_C=\dfrac{3}{2}-6=\dfrac{-9}{2} \\ y_{\overrightarrow{CI}}=y_I-y_C=\dfrac{7}{2}-(-2)=\dfrac{11}{2} \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{CI}\left(\dfrac{-9}{2};\dfrac{11}{2} \right) $

    Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(CI)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CM}}=x_M-x_C=x-6 \\ y_{\overrightarrow{CM}}=y_M-y_C=y-(-2)=y+2 \\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AM}(x-6;y+2)$
    $M\in (CI)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{CI}}y_{\overrightarrow{CM}}- y_{\overrightarrow{CI}}x_{\overrightarrow{CM}}=0$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{-9}{2}(y+2)-\dfrac{11}{2}(x-6)=0$
    $\Longleftrightarrow -9y-18-11x+66=0$ (on multiplie les deux membres par 2 et on développe)
    $\Longleftrightarrow -11x-9y+48=0$


    Penser à faire une figure pour contrôler graphiquement les calculs sur les coordonnées des points et des vecteurs.

    Avec le logiciel GEOGEBRA, on peut construire la figure et afficher une équation des droites tracées dans la fenêtre de droite (fenêtre algèbre)

    On a bien $-11x-9y+48=0\Longleftrightarrow -5,5x-4,5y=-24\Longleftrightarrow 5,5x+4,5=24$ (en divisant par 2 puis en multipliant chaque membre par $-1$)
  2. On note $J$ le milieu de $[AC]$.
    Déterminer une équation de la médiane issue de B dans le triangle ABC.
    Rappel: la médiane issue de B dans le triangle ABC est la droite passant par B et le milieu du segment [AC]
    $\begin{cases} x_J=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+6}{2}=\dfrac{7}{2} \\ y_J=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{2-2}{2}=0 \end{cases}$
    donc $J\left(\dfrac{7}{2};0 \right) $
    $\overrightarrow{BJ}$ est un vecteur directeur de la médiane (BJ) issue de B dans ABC.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BJ}}=x_J-x_B=\dfrac{7}{2}-2=\dfrac{3}{2} \\ y_{\overrightarrow{BJ}}=y_J-y_B=0-5=-5 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BJ}\left(\dfrac{3}{2};-5 \right) $

    Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(BJ)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BM}}=x_M-x_B=x-2 \\ y_{\overrightarrow{BM}}=y_M-y_B=y-5 \\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{BM}(x-2;y-5)$
    $M\in (BJ)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{BJ}}y_{\overrightarrow{BM}}- y_{\overrightarrow{BJ}}x_{\overrightarrow{BM}}=0$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}(y-5)-(-5)(x-2)=0$
    $\Longleftrightarrow 3y-15+10x-20=0$ (on multiplie les deux membres par 2 et on développe)
    $\Longleftrightarrow 10x+3y-35=0$


    Avec le logiciel GEOGEBRA, on peut construire la figure et afficher une équation des droites tracées dans la fenêtre de droite (fenêtre algèbre)

    Ouvrir le fichier GEOGEBRA de la figure
    On a bien $10x+3y-35=0\Longleftrightarrow 5x+1,5y=17,5$ (en divisant par 2)
  3. En déduire les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC
    Le point G appartient à (CI) et à (BJ) donc ses coordonnées doivent vérifier une équation de (CI) et une équation de (BJ)
    Il faut résoudre un système d'équation formé avec une équation de (CI) et une équation de (BJ)
    $-11x-9y+48=0$ est une équation cartésienne de la droite (AI)
    $10x+3y-35=0$ est une équation cartésienne de la droite (BJ)
    Il faut résoudre le système:
    $\begin{cases} -11x-9y+48=0 \\ 10x+3y-35=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} -11x+30x-9y+9y+48-105=0 \text{ calcul : L1+3L2} \\ -110x+110x-90y+33y+480-385=0 \text{ calcul : 10L1+11L2} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 19x=57 \\ -57y=-95 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} x=3 \\ y=\dfrac{95}{57} =\dfrac{5}{3} \text{ on simplifie par 19} \end{cases}$


    Pour effectuer un contrôle sur le graphique, on peut déterminer une valeur approchée de $y_G=\dfrac{5}{3}\simeq 1,7$
  4. On rappelle que le centre de gravité G du triangle ABC est caractérisé par la relation vectorielle $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
    Retrouver les coordonnées du point$G$ en utilisant cette relation.

    Coordonnées d'un vecteur défini par deux points


    Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
    $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A-x_G+x_B-x_G+x_C-x_G=0 \\ y_A-y_G+y_B-y_G+y_C-y_G=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 1+2+6-3x_G=0 \\ 2+5-2-3y_G=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} -3x_G=-9 \\ -3y_G=-5 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G=3 \\ y_G=\dfrac{5}{3} \end{cases}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Systèmes d'équations

- résolution par substitution
- résolution par combinaisons
- intersection de deux droites


infos: | 15-20mn |

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