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Une urne contient 10 jetons identiques au toucher: 3 de couleur noire numérotés de 1 à 3 et 7 de couleur rouge numérotés de 4 à 10.
On considère les événements:
- A: "le jeton est rouge"
- B: "le numéro est pair"
  1. Quel est le nombre total d'issues possibles?
    Pour chaque jeton tiré, on a un résultat différent: 1 noir, 2 noir...
    Il y a 10 jetons différents
  2. Calculer la probabilité de l'événement $A$

    Équiprobabilité


    On a une loi de probabilité sur l'ensemble $\Omega$ qui associe à chaque issue $x_i$ la probabilité $p_i$
    Si $p_1=p_2=p_3=...=p_n=\dfrac{1}{n}$, la loi de probabilité est une loi équirépartie.
    Il y a 7 jetons rouges
    Il y a 7 jetons rouges
    donc $p(A)=\dfrac{7}{10}=0,7$.
  3. Calculer la probabilité de l'événement $B$
    Il y a 5 jetons pairs (2, 4, 6, 8 et 10)
    Il y a 5 jetons pairs (2, 4, 6, 8 et 10)
    donc $p(B)=\dfrac{5}{10}=0,5$.
  4. Que signifie l'événement $A\cap B$?
    Calculer la probabilité de $A\cap B$.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    On veut que $A$ et $B$ soient réalisés simultanément
    $A\cap B$ est l'événement "le jeton est rouge et porte un numéro pair"
    Il y a donc 4 jetons possibles (4 rouge, 6 rouge, 8 rouge et 10 rouge)
    donc $p(A\cap B)=\dfrac{4}{10}=0,4$
  5. Que signifie l'événement $\overline{A}$?
    Calculer sa probabilité.

    Notations des événements et probabilités


    $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
    $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$
    On veut obtenir une carte qui ne soit pas un trèfle
    $\overline{A}$ est le contraire de $A$
    donc $\overline{A}$ est l'événement "on obtient un jeton qui n'est pas rouge" donc un jeton noir.
    Il y a 3 jetons noirs donc $p(\overline{A})=\dfrac{3}{10}=0,3$
  6. Que signifie l'événement $A\cup B$?
    Calculer sa probabilité.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    On veut obtenir un jeton rouge ou bien avec un numéro pair.
    $A\cup B$ est l'événement "on obtient un jeton rouge ou bien avec un numéro pair"
    Il y a 7 jetons rouges (dont 4 pairs) et 5 jetons pairs (dont 4 rouges)
    donc il y a 8 jetons possibles ($7+5-4$ car les jetons rouges et pairs sont comptés deux fois)
    donc $p(A\cup B)=\dfrac{8}{10}=0,8$


    On peut aussi calculer $p(A\cup B)$ en utilisant $p(A\cap B)$.
    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)+p(A\cap B)=0,7+0,5-0,4=0,8$

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