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Déterminer la forme canonique pour chacun des polynômes ci-dessous
  1. $P(x)=\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{2x}{3}+1$

    Forme canonique


    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$
    Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $ax^2+bx+c$ pour appliquer la propriété du cours
    $P(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a=\dfrac{1}{6}$, $b=\dfrac{-2}{3}$ et $c=1$
    On veut écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2\times \dfrac{1}{6}}=\dfrac{2}{3}\times 3=2$

    $\beta=P(\alpha)=P(2)=\dfrac{2^2}{6}-\dfrac{2\times 2}{3}+1=\dfrac{4}{6}-\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}$


    Avec la calculatrice graphique on peut saisir les deux expressions (forme développée et forme canonique obtenue) dans le menu TABLE ou GRAPH pour vérifier que ces deux fonctions sont égales
  2. $P(x)=x-2x^2+6$
    Calculer $\alpha$ puis $\beta$ après avoir identifié les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $ax^2+bx+c$ (voir aussi rappel cours question 1)
    réecrire le'expression dans l'ordre des puissances décroissantes de $x$ soit $x^2$ puis $x$
    $P(x)=x-2x^2+6=-2x^2+x+6$
    $P(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a=-2$, $b=1$ et $c=6$
    On veut écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{4}$

    $\beta=P(\alpha)$
    $~~~~=P\left(\dfrac{1}{4}\right)$
    $~~~~=-2\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{4}+6$
    $~~~~=-2\times \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+6$
    $~~~~=\dfrac{-1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{48}{8}$
    $~~~~=\dfrac{49}{8}$
    donc $P(x)=-2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}$

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