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- Résoudre $(2x^2-6x-1)(x^2+9x-10)>0$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Somme et produit des racines
Si le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a:
$ x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ (somme des racines)
et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (produit des racines)Il faut utiliser un tableau de signes avec le produit des facteurs $2x^2-6x-1$ et $x^2+9x-10$
Rechercher les racines de chaque facteurRacines de $2x^2-6x-1$
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 2\times (-1)=36+8=44$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6 + \sqrt{44} }{4 }=\dfrac{6+2\sqrt{11}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{11}}{2}$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6 - \sqrt{44} }{4 }=\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}$
Racines de $x^2+9x-10$
$1+9-10=0$ donc $x_3=1$ est une racine du polynôme.
$x_3x_4=\dfrac{c'}{a'}$ soit $1x_4=-10$ donc $x_4=-10$
Penser à contrôler les racines de chacun des polynômes avant de poursuivre
On a $x_1=\dfrac{3+\sqrt{11}}{2}\approx 3,16$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}\approx -0,16$
On veut $(2x^2-6x-1)(x^2+9x-10)>0$ (en rouge dans le tableau)
- Résoudre $\dfrac{x^2+3x-4}{-x^2+5x-6}\leq 0$
Il faut utiliser un tableau de signes avec le quotient de $x^2+3x-4$ et $-x^2+5x-6$
il y a deux valeurs interdites (double barre)Racines de $x^2+3x-4$
$1+3-4=0$ donc $x_1=1$ est une racine du polynôme
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ soit $1x_2=\dfrac{-4}{1}$ donc $x_2=-4$
Racines de $-x^2+5x-6$
$\Delta=5^2-4\times (-1)\times (-6)=25-24=1$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_3=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+1}{-2}=\dfrac{-4}{-2}=2$
et $x_4=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-1 }{-2 }=3$
On veut $\dfrac{x^2+3x-4}{-x^2+5x-6}\leq 0$(en rouge dans le tableau)
ne pas oublier les doubles barres pour les valeurs interdites
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Inéquations commentées pas à pas
Exemples de résolution d'inéquations en utilisant le signe du polynôme du second degré
infos: | 8-12mn |
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