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On veut résoudre l'inéquation $2x^3-7x^2+4x+4<0$
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- Montrer que pour tout réel $x$, on a: $2x^3-7x^2+4x+4=(x-2)(2x^2-3x-2)$
- Déterminer les racines du polynôme $2x^2-3x-2$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.$\Delta=b^2-4ac=9-4\times 2\times (-2)=25$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-1}{2}$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+5}{4}=2$
- En déduire l'ensemble de solution de l'inéquation $2x^3-7x^2+4x+4<0$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Utiliser la forme factorisée de la question 1 puis dresser un tableau de signes du produit des deux facteurs
Attention, il y a trois valeurs de $x$ annulant le polynôme de degré 3, les racines de $2x^2-3x-2$ et la valeur de $x$ annulant le facteur $x-2$$2x^3-7x^2+4x+4<0 \Longleftrightarrow (x-2)(2x^2-3x-2)<0$
Le polynôme de degré 3, $2x^3-7x^2+4x+4$ est strictement négatif pour $x \in ]-\infty;\dfrac{-1}{2}[$
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