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On veut résoudre l'inéquation $2x^3-7x^2+4x+4<0$
  1. Montrer que pour tout réel $x$, on a: $2x^3-7x^2+4x+4=(x-2)(2x^2-3x-2)$
    Développer puis simplifier le membre de droite
    $(x-2)(2x^2-3x-2)=$.....
    $(x-2)(2x^2-3x-2)=2x^3-3x^2-2x-4x^2+6x+4=2x^3-7x^2+4x+4$

  2. Déterminer les racines du polynôme $2x^2-3x-2$

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    $\Delta=b^2-4ac=9-4\times 2\times (-2)=25$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-1}{2}$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+5}{4}=2$
  3. En déduire l'ensemble de solution de l'inéquation $2x^3-7x^2+4x+4<0$

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Utiliser la forme factorisée de la question 1 puis dresser un tableau de signes du produit des deux facteurs
    Attention, il y a trois valeurs de $x$ annulant le polynôme de degré 3, les racines de $2x^2-3x-2$ et la valeur de $x$ annulant le facteur $x-2$
    $2x^3-7x^2+4x+4<0 \Longleftrightarrow (x-2)(2x^2-3x-2)<0$

    Le polynôme de degré 3, $2x^3-7x^2+4x+4$ est strictement négatif pour $x \in ]-\infty;\dfrac{-1}{2}[$

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