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On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+4x-3$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
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- Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $C_f$
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$On a $a=-1$, $b=4$ et $c=-3$
$\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{-2}=2$
$\beta=f(2)=-2^2+4\times 2-3=1$
- On souhaite évaluer l'aire du domaine $D$ hachuré sur la figure ci-dessous en utilisant la méthode de Monte-Carlo décrite ci-dessous:
On choisit au hasard un point $M(x;y)$ dans le rectangle $ABCD$ et on admet que la probabilité que $M$ appartienne à $D$ est égale au quotient l'aire $\mathcal{A}_D$ et de l'aire du rectangle $ABCD$
- Encadrer $x$ et $y$.
A quelle condition le point $M$ appartient à $D$? - On souhaite générer $n$ points du rectangle au hasard et déterminer si le point appartient ou non à $D$.
Ecrire un algorithme permettant de choisir le nombre de points et retournant le nombre de points appartenant à $D$.
Rappel: random.random()génère un nombre décimal compris entre $0$ et $1$, avec $1$ exclu.input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Test IF..THEN..ELSE
if test à effectuer : instructions du si
else: instruction du sinonBoucle POUR
for i in range(n) : --> i varie de 0 à n-1 soit n passages dans la boucle
instructions de la boucle pour
for i in range(a,n) : --> i varie de a à n-1
instructions de la boucle pour
On doit utiliser une boucle POUR i allant de 0 à n ($i< n$) et générer un nombre $x$ aléatoire compris entre $1$ et $3$ et un nombre $y$ aléatoire compris entre $0$ et $1$ puis déterminer si $y \leq f(x)$On doit générer à chaque passage dans la boucle les coordonnées de $M$ et tester si $y \leq f(x)$.
- En utilisant l'algorithme conjecturer l'aire de $D$ au centième près.
La probabilité que $M$ appartiennent à $D$ est le quotient du nombre de points appartenant à $D$ par le nombre de points total.
On peut faire plusieurs simulations avec un grand nombre de points.En saisissant $n=1000$, on obtient $655$ points appartenant à $D$ soit $p_1=\dfrac{655}{1000}=0,655\approx 0,65$
En saisissant $n=10000$, on obtient $6636$ points appartenant à $D$ soit $p_2=\dfrac{6636}{10000}=0,6636\approx 0,67$
En saisissant $n=1~000~000$, on obtient $666234$ points appartenant à $D$ soit $p_3=\dfrac{666234}{1000000}=0,666234\approx 0,67$
Une unité d'aire étant l'aire d'un rectangle de une unité sur une unité dans le repère(partie hachurée ci-dessous)
- Encadrer $x$ et $y$.
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