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On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2$ dans un repère orthonormé et on donne deux points $A$ et $B$ distincts de $\mathcal{P}$(figure ci-dessous).
$I$ est un point su segment $[AB]$ et $J$ est le point de $\mathcal{P}$ ayant la même abscisse que $I$.
Existe-t-il un point de $[AB]$ telle que la distance $IJ$ soit maximale?
On pourra construire la figure avec \textbf{GEOGEBRA} pour conjecturer la réponse et la prouver ensuite.

Distance dans un repère


Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$

Forme canonique


Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$
On note $a$ et $b$ les abscisses respectives de $A$ et $B$
Déterminer l'équation réduite (forme $y=mx+p$) de la droite $(AB)$
coefficient directeur de la droite $(AB)$: $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Exprimer la distance $IJ$ en fonction de $a$ et $b$
Si on note $a$ l'abscisse de $a$ et $b$ l'abscisse de $B$ ($a\neq b$), alors $A(a;a^2)$ et $B(b;b^2)$ et la droite $(AB)$ a pour équation réduite:
Calcul du coefficient directeur: $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=\dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a}=b+a$
$(AB)$ a une équation réduite de la forme $y=mx+p=(b+a)x+p$
$A\in (AB) \Longleftrightarrow y_A=(b+a)x_A+p \Longleftrightarrow a^2=(b+a)a+p \Longleftrightarrow p=-ab$
L'équation réduite de $(AB)$ est donc $y=(b+a)x-ab$
$I \in [AB]$ donc $x_I$ est compris entre $a$ et $b$ et $y_I=(b+a)x_I-ab$
et $x_J=x_I$ et $y_J=x_I^2$
Le repère est orthonormé avec $x_I=x_J$ et $y_I\geq y_J$ donc
$IJ=y_I-y_J$
$\phantom{IJ}=(b+a)x_I+ab-x_I^2$
$\phantom{IJ}=-x_I^2+(b+a)x_I+ab$
Si on pose $f(x)=-x^2+(b+a)x-ab$
La représentation graphique de $f$ est une parabole dont l'abscisse du sommet est
$\dfrac{-~coefficient~~de~~x}{2\times~coefficient~~de~~x^2}=\dfrac{-(b+a)}{-2}=\dfrac{a+b}{2}$
Le coefficient de $x$ est $a=-1$ donc le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ est:

Le maximum de $f$ est atteint en $x=\dfrac{a+b}{2}$ et on a $IJ=f(x_I)$
donc $IJ$ est maximale quand $x_I=\dfrac{a+b}{2}$ soit pour $I$ milieu de $[AB]$

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