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Une La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}$
  1. Etudier les variations de la suite $(u_n)$.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}$
    donc $u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1+1}=\dfrac{1}{n+2}$
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}$ (Attention au signe $-$ devant la barre de fraction)
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$
    $n\in \mathbb{N}$ donc $(n+1)(n+2)>0$
    et $u_{n+1}-u_{n}$ est donc du signe du numérateur soit $u_{n+1}-u_n<0$
    donc $u_{n+1} < u_n$
  2. Conjecturer avec un tableur ou la calculatrice la limite si elle existe de $(u_n)$
    Utiliser le MENU RECUR de la calculatrice ou le menu TABLE puisque $u_n$ est donné en fonction de $n$
    $u_{10}\simeq 0,09$, $u_{20}\simeq 0,05$.....$u_{100}\simeq 0,01$
    Il semble que $u_n\longrightarrow 0$ quand $n\longrightarrow +\infty$
  3. Soit $P$ un entier naturel, montrer que quelque soit la valeur de $P$, il existe $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$, $u_n\leq 10^{-P}$ (remarque: $10^{-P}=\dfrac{1}{10^P}$)
    et prouver la conjecture faite sur la limite.
    Résoudre l'inéquation $u_n\leq 10^{-P}$ d'inconnue $n$
    $u_n\leq 10^{-P}$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{1}{n+1}\leq 10^{-P}$
    $\Longleftrightarrow 1\leq ( n+1)10^{-P}$ (car $n+1>0$)
    $\Longleftrightarrow 1\leq n10^{-P}+10^{-P}$
    $\Longleftrightarrow 1-10^{-P}\leq n10^{-P}$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{1}{10^{-P}}-1\leq n$
    $\Longleftrightarrow 10^{P}-1\leq n$
    Donc en prenant $N=10^P-1$, on a $u_n\leq 10^{-P}$ pour tout $n\geq N$
    Cela signifie que à partir du rang $N$, on a $u_n\leq 10^{-P}$
    On peut donc rendre $u_n$ aussi petit que l'on veut (inférieur à $10^{-P}=\dfrac{1}{10^P}$) à partir d'un certain rang $N=10^P-1$

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