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Dans chaque cas, déterminer si la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ est arithmétique et si oui, préciser sa raison.
  1. $u_n=n^2+1$

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
    On peut vérifier que $u_{n+1}-u_n$ n'est pas constant.
    On peut aussi calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et vérifier que les différences $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ ne sont pas égales.
    Première méthode
    $u_n=n^2+1$ donc $u_{n+1}=(n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2$
    $u_{n+1}-u_n=n^2+2n+2-(n^2+1)=n^2+2n+2-n^2-1=2n+1$
    La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante (dépend de $n$)


    Deuxième méthode
    $u_n=n^2+1$ donc $u_0=0^2+1=1$, $u_1=1^2+1=2$ et $u_2=2^2+1=5$
    $u_1-u_0=2-1= 1$ et $u_2-u_1=5-2=3$
    donc $u_1-u_0\neq u_2-u_1$
    La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante (dépend de $n$)
    donc $(u_n)$ n'est pas une suite arithmétique.
    si on a $u_1-u_0= u_2-u_1$, on ne peut pas conclure que la suite $(u_n)$ est arithmétique car la différence entre deux termes consécutifs doit être constante pour tout entier naturel $n$
    et non pas seulement pour les trois premiers termes
  2. $u_n=-3n+1$
    On peut vérifier que $u_{n+1}-u_n$ est constant et égal à la raison.
    On peut aussi reconnaître la forme explicite d'une suite arithmétique $u_n=u_0+nr$
    Première méthode
    $u_n=-3n+1$ donc $u_{n+1}=-3(n+1)+1=-3n-3+1=-3n-2$
    $u_{n+1}-u_n=-3n-2-(-3n+1)=-3n-2+3n-1=-3$
    La différence entre deux termes consécutifs est constante


    Deuxième méthode
    $u_n=-3n+1=1-3n=u_0+nr$ avec $u_0=1$ et $r=-3$
  3. $u_n=\dfrac{2-3n}{5}$
    On peut vérifier que $u_{n+1}-u_n$ est constant et égal à la raison.
    On peut aussi reconnaître la forme explicite d'une suite arithmétique $u_n=u_0+nr$
    Première méthode
    $u_n=\dfrac{2-3n}{5}$
    $u_{n+1}=\dfrac{2-3(n+1)}{5}$
    $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{2-3n-3}{5}$
    $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{-1-3n}{5}$
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1-3n}{5}-\dfrac{2-3n}{5}$ signe $-$ devant la barre de fraction
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1-3n-2+3n}{5}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-3}{5}$
    La différence entre deux termes consécutifs est constante


    Deuxième méthode
    $u_n=\dfrac{2-3n}{5}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3n}{5}$
    $u_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3n}{5}$ avec $u_0=\dfrac{2}{5}$ et $r=\dfrac{-3}{5}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmétiques et géométriques

- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique


infos: | 15mn |

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