Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15% chaque année.
Au premier janvier 2004, la population était estimée à $25~000$ singes.
A laide d'une suite, on modélise la population au premier janvier de chaque année. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de singes au premier janvier de l'année $2004+n$. On a ainsi $u_0=25~000$.

1. Calculer l'effectif de cette population de singes :
   1. au premier janvier 2005.

      Rappel de cours

      Coefficient multiplicateur

      ---

      Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
      Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

      Aide

      On applique le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{15}{100}$ chaque année

      Solution

      La population diminue de 15 chaque année donc on applique le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{15}{100}=1-0,15=0,85$.
      $u_1=0,85\times u_0=0,85\times 25~000=21~250$
      Au premier janvier 2015, la population est de $21~250$ singes.
   2. au premier janvier 2006, en arrondissant à l'entier.

      Solution

      $u_2=0,85u_1=0,85\times 21~250\approx 18~062$
      Au premier janvier 2015, la population est de $18~062$ singes environ.
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=25~000\times 0,85^n$.

   Rappel de cours

   Suite géométrique

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   Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
   $q$ est la raison de la suite.
   Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

   Forme explicite d'une suite géométrique

   ---

   Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
   $u_n=u_0\times q^n$
   et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

   Aide

   Il faut d'abord justifier que la suite est géométrique avant de donner sa forme explicite

   Solution

   Chaque année, le nombre de singes est multiplié par $0,85$
   et on a donc $u_{n+1}=0,85u_n$
   donc $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=25~000$ et de raison $q=0,85$
   donc $u_n=u_0\times q^n=25~000\times 0,85^n$
   $u_n=25~000\times 0,85^n$
3. Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à laide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le premier janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à $5~000$.
   Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.
   

   Aide

   U correspond aux termes successifs de la suite et $n$(compteur) aux indices successifs

   Solution

   Tant que le nombre de singes n'est pas inférieur à 6500, on continue à calculer le nombre de singes l'année suivante et le nombre d'années $n$ augmente de 1.
   
4. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

   Rappel de cours

   Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)

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   Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
   Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
   Étudier le signe de l'expression obtenue
   Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
   Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

   Aide

   On doit étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en factorisant l'expression
   On peut remplacer $u_{n+1}$ par $0,85u_n$ dans un premier temps

   Solution

   $u_{n+1}-u_n=0,85u_n-u_n$
   $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,15u_n$
   $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,15\times 25~000\times 0,85^{n}$
   $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-1484\times 0,85^n$
   $0,85^n>0$ et donc $u_{n+1}-u_n < 0$
   soit $u_{n+1} < u_n$
   donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
5. Montrer que la valeur $n$ affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.

   Aide

   On peut calculer $u_9$ et $u_{10}$ avec la forme explicite de la suite $(u_n)$

   Solution

   La suite $u_n$ est décroissante et on a $u_9=25~000\times 0,85^{9}\approx 5790$
   et $u_{10}=25~000\times 0,85^{10}\approx 4922$
   La boucle TANT QUE s'arrête quand la valeur de $U$ est inférieure à 5000
   donc la boucle TANT QUE s'arrête quand $n=10$ puisque $u_{10}<5000$
   Remarque
   Comme la suite est décroissante, pour tout entier naturel $n\geq 10$ on aura donc $u_n\leq u_{10}<5000$