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Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée $500$ élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de $300$~nouveaux élèves.
On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année $2013 + n$, avec $n$ entier naturel. On a donc $u_{0} = 500$.
  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_{n} + 300$.

    Coefficient multiplicateur


    Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
    Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$
    Diminuer le nombre d'élèves de 30% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{30}{100}$
    On note $u_n$ le nombre d'élèves de l'année $2013+n$.
    Chaque année, le nombre d'élèves diminue de 30% donc est multiplié par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$ et on a alors $0,7u_n$ élèves.
    Il y a ensuite 300 élèves supplémentaires donc on a $0,7u_n+300$ élèves au lycée
  2. Expliquer le résultat affiché par chacun des algorithmes ci-dessous.
    Algorithme 1: On effectue le passage dans la boucle jusqu'à ce que la valeur de $U$ dépasse la valeur $A$ entrée par l'utilisateur
    Algorithme 2 : On calcule le terme suivant de la suite $(u_n)$ à chaque passage dans la boucle
    Algorithme 3: On affiche $u_n$ puis on calcule le terme suivant de la suite $(u_n)$ à chaque passage dans la boucle
    Algorithme 1
    Lire A: l'utilisateur saisit une valeur pour $A$ par exemple $A=700$
    $U$ prend la valeur 500: on a maintenant $U=500=u_0$
    Test Tant Que: si la valeur de $U$ est inférieure à $A$ (ici 700) on ajoute 1 à $n$ (on ajoute une année) et on calcule le terme suivant pour la suite $0,7U+300$
    On affiche $n$ quand la boucle Tant Que s'arrête, c'est à dire quand $U$ devient supérieur à 700.


    Algorithme 2
    Lire $n$: l'utilisateur saisit une valeur pour $n$ par exemple $n=3$
    $U$ prend la valeur 500: on a maintenant $U=500=u_0$
    Boucle Pour: On effectue ici trois passages dans la boucle (on a choisi $n=3$) et à chaque passage dans la boucle on calcule le terme suivant $0,7U+300$
    On affiche $U$ quand la boucle Pour s'arrête, c'est à dire quand $U=u_3$


    Algorithme 3
    Lire $n$: l'utilisateur saisit une valeur pour $n$ par exemple $n=3$
    $U$ prend la valeur 500: on a maintenant $U=500=u_0$
    Boucle Pour: On effectue ici trois passages dans la boucle (on a choisi $n=3$) et à chaque passage dans la boucle on affiche $U$ puis on calcule le terme suivant $0,7U+300$
    On affiche $U$ quand la boucle Pour s'arrête, c'est à dire quand $U=u_3$
  3. Avec la calculatrice, donner le résultat affiché par l'algorithme 1 si on saisit $A=900$.
    On utilise le MENU RECUR de la calculatrice et la suite est définie par récurrence
    En utilisant le MENU suite de la calculatrice, afficher les termes de la suite (voir vidéo suites et calculatrice)
    Avec CASIO:


    On a $u_4\approx 880$ et $u_5\approx 916$
    donc pour $n\geq 5$ on a $u_n>900$
  4. Que va afficher l'algorithme 2 si on saisit $n=4$?
    L'algorithme 2 va afficher $u_4$ et on a $u_4=879,95$.
  5. Que va afficher l'algorithme 3 si on saisit $n=4$?
    L'algorithme 3 va afficher $u_0=500$, $u_1=650$, $u_2=755$, $u_3=828,5$ et $u_4=879,95$

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