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  1. spécialité maths première
  2. chapitre 3 Suites
  3. exercice corrigé nº726

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On considère les suites de points $A_{n}$ et $B_{n}$ définies pour tout entier naturel $n$ de la manière suivante: sur un axe orienté $\left(O~;~\overrightarrow{u}\right)$, le point $A_{0}$ a pour abscisse $0$ et le point $B_{0}$ a pour abscisse 12.
Le point $A_{n+1}$ est tel que $2\overrightarrow{A_{n+1}A_{n}}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}$ et $B_{n+1}$ est défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}$.
  1. Calculer $a_1$ et $b_1$.

    Aide

    On a $\overrightarrow{AB}(x_b-x_A)$
    $A_0$ a pour abscisse $a_0=0$ et $b_0$ a pour abscisse $b_0$

    Solution

    On a $2\overrightarrow{A_{n+1}A_n}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}$
    et pour $n=0$ on a alors $2\overrightarrow{A_1A_0}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}$
    Méthode analytique:
    Le point $A_0$ a pour abscisse $a_0=0$, le point $B_0$ a pour abscisse $b_0=12$, le point $A_1$ a pour abscisse $a_1$, le point $B_1$ a pour abscisse $b_1$...
    $2\overrightarrow{A_1 A_0}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow 2(a_0-a_1)+b_0-a_1=0$
    $\phantom{2\overrightarrow{A_0 A_1}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow 0-2a_1+12-a_1=0$
    $\phantom{2\overrightarrow{A_0 A_1}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow -3a_1=-12$
    $\phantom{2\overrightarrow{A_0 A_1}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow a_1=4$
    On a $\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}$
    En prenant $n=0$ on a $\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}$
    $\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow a_0-b_1+3(b_0-b_1)=0$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow 0-b_1+36-3b_1=0$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow -4b_1=-36$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow b_1=9$

    Méthode vectorielle
    $2\overrightarrow{A_1 A_0}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow 2\overrightarrow{A_1 A_0}+\overrightarrow{A_{1}A_0}+\overrightarrow{A_{0}B_0}=\overrightarrow{0} $
    $\phantom{2\overrightarrow{A_1 A_0}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow 3\overrightarrow{A_1 A_0}=-\overrightarrow{A_{0}B_0} $
    $\phantom{2\overrightarrow{A_1 A_0}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow \overrightarrow{A_1 A_0}=\dfrac{-1}{3}\overrightarrow{A_{0}B_0} $
    $\phantom{2\overrightarrow{A_1 A_0}+\overrightarrow{A_{1}B_0}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow \overrightarrow{A_0 A_1}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{A_{0}B_0} $
    et $A_0$ est l'origine du repère donc $a_1=\dfrac{1}{3}\times 12=4$
    $\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow \overrightarrow{B_{1}A_0}+3(\overrightarrow{B_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{0}B_{0}})=\overrightarrow{0}$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow \overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}A_{0}}+3\overrightarrow{A_{0}B_{0}}=\overrightarrow{0}$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow 4\overrightarrow{B_{1}A_0}=-3\overrightarrow{A_{0}B_{0}}$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow \overrightarrow{B_{1}A_0}=\dfrac{-3}{4}\overrightarrow{A_{0}B_{0}}$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{1}A_0}+3\overrightarrow{B_{1}B_{0}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow \overrightarrow{A_0B_{1}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{A_{0}B_{0}}$
    donc $b_1=\dfrac{3}{4}\times 12=9$
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}$ et que $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4}$.

    Aide

    On utilise les relations vectorielles données.
    $A_{n}$ a pour abscisse $a_n$, $A_{n+1}$ a pour abscisse $a_{n+1}$, $B_n$ a pour abscisse $b_n$ et $B_{n+1}$ a pour abscisse $b_{n+1}$

    Solution

    $A_{n}$ a pour abscisse $a_n$, $A_{n+1}$ a pour abscisse $a_{n+1}$, $B_n$ a pour abscisse $b_n$ et $B_{n+1}$ a pour abscisse $b_{n+1}$.
    $2\overrightarrow{A_nA_{n+1}}+\overrightarrow{B_nA_{n+1}}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow 2(a_{n+1}-a_n)+a_{n+1}-b_n=0$
    $\phantom{2\overrightarrow{A_nA_{n+1}}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}}\Longleftrightarrow 2a_{n+1}-2a_n+a_{n+1}-b_n=0$
    $\phantom{2\overrightarrow{A_nA_{n+1}}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}}\Longleftrightarrow 3a_{n+1}=2a_n+b_n$
    $\phantom{2\overrightarrow{A_nA_{n+1}}+\overrightarrow{A_{n+1}B_n}=\overrightarrow{0}}\Longleftrightarrow a_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n}{3}$

    $\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow a_n-b_{n+1}+3(b_n-b_{n+1})=0$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow a_n-b_{n+1}+3b_n-3b_{n+1}=0$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow -4b_{n+1}=-a_n-3b_n$
    $\phantom{\overrightarrow{B_{n+1}A_n}+3\overrightarrow{B_{n+1}B_{n}}=\overrightarrow{0}} \Longleftrightarrow b_{n+1}=\dfrac{a_n+3b_n}{4}$
  3. On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$.
    1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique. En préciser la raison.

      Rappel de cours

      Suite géométrique

      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

      Aide

      On utilise $u_{n+1}=b_{n+1}-a_{n+1}$ et on veut obtenir $u_{n+1}=k(b_n-a_n)=ku_n$

      Solution

      $u_{n+1}=b_{n+1}-a_{n+1}$
      $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{a_n+3b_n}{4}-\dfrac{2a_n+b_n}{3}$
      $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{3a_n+9b_n}{12}-\dfrac{8a_n+4b_n}{12}$
      $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{3a_n+9b_n-8a_n-4b_n}{12}$ signe $-$ devant la barre de fraction
      $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{-5a_n+5b_n}{12}$
      $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{5}{12}(b_n-a_n)$
      $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{5}{12}u_n$
      De plus $u_0=b_0-a_0=12$
    2. Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.

      Rappel de cours

      Forme explicite d'une suite géométrique

      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

      Solution

      $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $u_0=12$
    3. Hors programme de première.
      Déterminer la limite de $(u_{n})$.
      Interpréter géométriquement ce résultat.

      Aide

      Une suite géométrique dont la raison est comprise entre $-1$ et 1 admet une limite nulle quand $n\longrightarrow +infty$

      Solution

      La raison de la suite $(u_n)$ est comprise entre 0 et 1

      Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=b_n-a_n$ donc cela signifie que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ ont la même limite.
      Avec les notations, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}a_n=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}b_n$
  4. Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$).

    Aide

    Il faut étudier le signe de $a_{n+1}-a_n$
    On a $u_n >0$ pour tout entier naturel $n$

    Solution

    $a_{n+1}-a_n=\dfrac{2a_n+3b_n}{3}-a_n$
    $\phantom{a_{n+1}-a_n}=\dfrac{2a_n+b_n-3a_n}{3}$
    $\phantom{a_{n+1}-a_n}=\dfrac{-a_n+b_n}{3}$ or $u_n=b_n-a_n$
    $\phantom{a_{n+1}-a_n}=\dfrac{u_n}{3}$
    $u_n=12\times \left(\dfrac{5}{12}\right)^n$ donc $u_n >0$
    donc $a_{n+1}-a_n >0$

  5. Étudier les variations de la suite $(b_{n})$.

    Rappel de cours

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)

    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

    Aide

    On peut de même étudier le signe de $b_{n+1}-b_{n}$

    Solution

    $b_{n+1}-b_n=\dfrac{a_n+3b_n}{4}-b_n$
    $\phantom{b_{n+1}-b_n}=\dfrac{a_n+3b_n-4b_n}{4}$
    $\phantom{b_{n+1}-b_n}=\dfrac{a_n-b_n}{4}$ or $a_n-b_n=-u_n$
    $\phantom{b_{n+1}-b_n}=\dfrac{-u_n}{4}$
    Or $u_n>0$ donc $\dfrac{-u_n}{4}<0$
  6. On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=3a_{n}+4b_{n}$.
    Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est constante.

    Aide

    On veut montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n$ ou bien que $v_{n+1}-v_n=0$

    Solution

    $v_{n+1}=3a_{n+1}+4v_{n+1}$
    $\phantom{v_{n+1}}=3\times \dfrac{2a_n+b_n}{3}+4\times \dfrac{a_n+3b_n}{4}$
    $\phantom{v_{n+1}}=2a_n+b_n+a_n+3b_n$
    $\phantom{v_{n+1}}=3a_n+4b_n$
    $\phantom{v_{n+1}}=v_n$
  7. Déterminer la limite des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$.
    On pourra exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.

    Aide

    On peut utiliser les égalités $u_n=b_n-a_n$ et $v_n=3a_n+4b_n$
    donc $b_n=u_n+a_n$ et en ramplaçant $b_n$ dans la seconde égalité on peut exprimer $a_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$

    Solution

    $u_n=b_n-a_n$ donc $b_n=u_n+a_n$
    $v_n=3a_n+4(u_n+a_n)=3a_n+4u_n+4a_n=7a_n+4u_n$
    donc on a $7a_n=v_n-4u_n$ soit $a_n=\dfrac{v_n-4u_n}{7}$.
    $(v_n)$ est constante donc $v_n=v_0$ pour tout entier naturel $n$ et $v_0=3a_0+4b_0=0+4\times 12=48$
    On a aussi $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}u_n=0$
    donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}a_n=\dfrac{v_0}{7}=\dfrac{48}{7}$
    et les limites des suites $(a_n)$ et $b_n)$ sont égales


    $u_n=b_n-a_n$ donc $a_n=b_n-u_n$
    donc $v_n=3(b_n-u_n)+4b_n=7b_n-3u_n$
    soit $b_n=\dfrac{v_n+3u_n}{7}$ et on retrouve de même $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}b_n=\dfrac{v_0}{7}=\dfrac{48}{7}$

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