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$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$
et pour tout entier naturel $n$ , on a:
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n+4}{u_n+3}$ :
$w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$
On admet que $u_n\neq -3$ et que $u_n\neq 2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
  1. Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique et donner l'expression de $w_n$ en fonction de $n$

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_n$ pour trouver une relation de la forme $w_{n+1}=qw_n$
    $w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$ donc pour tout entier naturel $n$, on a:

    $w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+2}{u_{n+1}-2}$

    $\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3u_n+4}{u_n+3}+2}{\dfrac{3u_n+4}{u_n+3}-2}$

    $\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3u_n+4+2u_n+6}{u_n+3}}{\dfrac{3u_n+4-2u_n-6}{u_n+3}}$

    $\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{5u_n+10}{u_n+3}\times \dfrac{u_n+3}{u_n-2}$

    $\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{5u_n+10}{u_n-2}$

    $\phantom{w_{n+1}}=5\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$

    $\phantom{w_{n+1}}=5w_n$

    donc $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 5.
    En prenant $n=0$ dans $w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$, on a:
    $w_0=\dfrac{u_0+2}{u_0-2}=-3$ (rappel $u_0=1$)
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$
    Isoler $u_n$ dans $w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$ puis exprimer $u_n$ en fonstion de $n$
    $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=5$ et premier terme $w_0=-3$
    donc $w_n=w_0\times q^n=-3\times 5^n$

    $w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$

    $\Longleftrightarrow w_n(u_n-2)=u_n+2$

    $\Longleftrightarrow w_n\times u_n-2w_n=u_n+2$

    $\Longleftrightarrow w_n\times u_n-u_n=2w_n+2$

    $\Longleftrightarrow u_n(w_n-1)=2w_n+2$

    $\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{2w_n+2}{ w_n-1 }$ ($w_n\neq 1$ puisque $w_n=-3\times 5^n$ donc $w_n<0$)
    donc $u_n=\dfrac{2w_n+2}{ w_n-1 }=\dfrac{-6\times 5^n+2}{ -3\times 5^n-1 }$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites et variations

- calculs des termes d'une suite
- utilisation des indices
- étude des variations


infos: | 10-15mn |

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